ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

#1

ΓΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Το θέμα αυτό , που ανοίγουμε, για τα ΑΠΛΑ ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ {για τα Πλήρη Αρμονικά Εξάπλευρα στο [1] σελίδες 1174-1343}, είναι μια ΕΡΕΥΝΑ που είχα κάνει παλιότερα και είχα γράψει μια μικρή εργασία την οποία είχα στείλει για δημοσίευση στο περιοδικό ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ. Όμως η Συντακτική Επιτροπή (ΣΕ) του περιοδικού, την θεώρησε μεγάλη για το μέγεθος του περιοδικού και δεν τη δημοσίευσε, γράφοντας μια σελίδα του με σχόλια γι’ αυτή (Τεύχος 2 σελίδα 109). Μεταξύ άλλων γράφει:
«Στις σελίδες αυτές θα έπρεπε να βρίσκεται μια εξαίρετη καινούργια εργασία του Νίκου Κυριαζή.
Το αντικείμενο της εργασίας αυτής είναι τα ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ …
Η ΣΕ του ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΥ βρίσκεται στην δυσάρεστη θέση να μη δημοσιεύσει την εργασία αυτή (προς το παρόν), λόγω μεγάλου μεγέθους…
Ζητούμε συγνώμη από τον κ. Κυριαζή για την αδυναμία μας αυτή».

Σκοπός μου εδώ είναι να ερευνήσουμε και όλοι μαζί το θέμα αυτό (όπως και σε άλλη θέση του mathematica, gr, είχα υποσχεθεί), γιατί ίσως έτσι προκύψουν και νέα σχετικά στοιχεία εποικοδομητικά και επεκταθεί τούτο, αλλά να προτρέψω και όλους τους φίλους να ασχοληθούν με την έρευνα, καθώς απ’ αυτή όλο και κάτι καινούριο μπορεί να προκύψει για τη Γεωμετρία και έτσι να μοιρασθούμε όλοι μαζί τη χαρά και την μεγάλη ικανοποίηση που μας δίνει κάθε ανακάλυψη.
Ακόμη, έτσι θα εκπληρώσω και την επιθυμία του αγαπητού φίλου Κώστα Παππέλη που μου έγραψε:
«…, αυτό που θα πρότεινα εγώ είναι ο κύριος Κυριαζής να ανοίξει ένα τόπικ με κάποιο διαφορετικό θέμα αναζήτησης κριτηρίων που τον έχει απασχολήσει, αφού έχουν μαζευτεί ήδη αρκετά από αυτό για να αλλάξουμε παραστάσεις. Επανερχόμαστε στο μέλλον».
Παρακαλώ και προσκαλώ όλους τους φίλους για τη συμμετοχή τους και ιδιαίτερα εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, ώστε να χαρούμε και όλοι μαζί την μαγεία κάθε νέου στοιχείου που θα προκύψει στη Γεωμετρία. (Πιστεύουμε ότι όλα τα στοιχεία που θα δώσουμε, πρωτοεμφανίζονται εδώ, καθώς μέχρι τώρα δεν τα έχουμε συναντήσει στη βιβλιογραφία. Για τα στοιχεία αυτά θα θέλαμε να μας γνωρίζετε αν τα έχετε συναντήσει, που και πότε έχουν γραφεί και να κάνετε την σχετική καλοπροαίρετη κριτική σας, ενώ σας καλούμε να δημοσιεύσετε εδώ και τις δικές σας νέες σχετικές αποδείξεις, Προτάσεις και Κριτήρια).

Και τώρα στο θέμα μας:

1. ΓΕΝΙΚΑ.
Πολλά έχουν γραφεί για τα αρμονικά τετράπλευρα, τα οποία υπάρχουν στη βιβλιογραφία [1] μέχρι [5].
Από όσα μέχρι τώρα γνωρίζουμε παρά την αναζήτησή μας στη γνωστή μας βιβλιογραφία, δε βρήκαμε τίποτε σχετικό με τα Αρμονικά Εξάπλευρα (εδώ προτιμάμε τον όρο εξάπλευρα αντί εξάγωνα), όπως τον ορισμό και τις ιδιότητές τούτων. Παρακάτω θα δώσουμε τον ορισμό των Αρμονικών Εξάπλευρων, κτλ, όπως και μερικές ιδιότητες τούτων, με την μορφή Γεωμετρικών Προτάσεων και Κριτηρίων Αρμονικότητας.
Ακόμη, θα δώσουμε και ένα Πρόβλημα με τον τρόπο κατασκευής Αρμονικών Εξάπλευρων,
Μεταξύ των παραπάνω ορισμών και των Προτάσεων με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, θα παρεμβάλουμε μερικές σημαντικές καινούριες βοηθητικές Προτάσεις (Λήμματα), καθώς είναι απαραίτητες για τις αποδείξεις των Προτάσεων που αναφέρονται στα Αρμονικά Εξάπλευρα.
Για όλες τις παραπάνω Προτάσεις κτλ, θα ζητήσουμε από τους φίλους να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, αλλά και να μας προτείνουν τις δικές τους σχετικές Προτάσεις και Κριτήρια.

2. ΟΡΟΛΟΓΙΑ (Σχήμα 1 στο συνημμένο μου 57).
α. Αρμονικά Εξάπλευρα.
Χαρακτηρίζουμε Αρμονικό ένα Εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ, όταν τούτο είναι κυρτό , εγγράψιμο σε κύκλο και που έχει αρμονικά τα έξι τετράπλευρά ΑΒΓΕ, ΒΓΔΖ, ΓΔΕΑ, ΔΕΖΒ, ΕΖΑΓ, ΖΑΒΔ [Υπάρχει ένα τέτοιο εξάπλευρο; Την απάντηση μας την δίνει το Πρόβλημα Κατασκευής παρακάτω (§ 5θ)].
α. Αρμονικό Τετράπλευρο.
Όπως αναφέρεται στο [5] (§ 8-4.10). Δηλαδή, ονομάζουμε Αρμονικό Τετράπλευρο, το εγγράψιμο σε κύκλο τετράπλευρο εκείνο του οποίου οι διαγώνιες είναι συζυγείς ως προς τον περιγεγραμμένο του κύκλο.
γ. Αντίστοιχα Πολύπλευρα, Αντίστοιχος Κύκλος.
Με τον όρο αυτό χαρακτηρίζουμε δύο πολύπλευρα (εδώ προτιμάμε τον όρο πολύπλευρα αντί πολύγωνα), όταν το ένα είναι εγγεγραμμένο και το άλλο περιγεγραμμένο στον ίδιο κύκλο, των οποίων οι πλευρές εγγίζουν το κύκλο στα ίδια σημεία(Εδώ, ΑΒΓΔΕΖ και Α'Β'Γ'Δ'Ε'Ζ') (Τα σχήματα αυτά ονομάζονται και πολικά αντίστροφα).
δ. Κύριες Διαγώνιες ή απλά Διαγώνιες Πολυπλεύρου.
Με τον όρο αυτό ονομάζουμε τις διαγώνιες ενός πολυπλεύρου με άρτιο αριθμό πλευρών, εκείνες που συνδέουν απέναντι κορυφές του (Εδώ, ΑΔ, ΒΕ, ΓΖ).
ε. Δίδυμα Πολύπλευρα Πολύπλευρου.
Με τον όρο αυτό χαρακτηρίζουμε τα δύο πολύπλευρα που έχουν κορυφές τις «μία παρά μία» κορυφές ενός πολυπλεύρου με άρτιο αριθμό πλευρών (Εδώ τα δίδυμα τρίγωνα ΑΓΕ και ΒΔΖ).
στ. Σεβιανές Gergonne.
Με τον όρο αυτό χαρακτηρίζουμε τις τρεις σεβιανές [5] τριγώνου που αντιστοιχούν στο γνωστό σημείο Gergonne [4].

3. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΊΑ.
[1]. Γεωμετρία. Εγγεγραμμένα-Περιγεγραμμένα Σχήματα 1990. Νίκου Κυριαζή.
[2]. Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας 1993. Νίκου Κυριαζή.
[3]. Θεωρήματα και Ασκήσεις Γεωμετρίας. Νίκου Κισκύρα.
[4]. Ασκήσεις Γεωμετρίας. FG-M (Ιησουϊτών).
[5]. Γεωμετρία. Γιώργου Τσίντσιφα.
[6]. Θεωρητική Γεωμετρία. Πέτρου Τόγκα.

4. ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ (Λήμματα).
[Δίνουμε παρακάτω την Βοηθητική Πρόταση 1 και ζητάμε από τους φίλους να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω. Την Πρόταση αυτή έχουμε επινοήσει το 1988 και την έχουμε καταχωρήσει στο [1] (σελ. 1042, για πλήρη εξάπλευρα), όπως και στο [2] [§1α(17), για απλά εξάπλευρα]. Μας είπαν ότι το ευθύ της το έχουν δει στη βιβλιογραφία, αλλά πότε, πού; Ακόμη την Πρόταση αυτή έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό ΔΙΑΣΤΑΣΗ της ΕΜΕ (τεύχος 3-4/1998, με τις εφαρμογές της).

α. Λήμμα 1.(1η Βοηθητική Πρόταση) (Σχήμα 1, του συνημμένου μου 57).
Σε κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, το γινόμενο των τριών λόγων των μηκών των διαδοχικών πλευρών του, είναι ίσο με τη μονάδα, αν και μόνο αν συντρέχουν οι διαγώνιές του.
Δηλαδή ΑΔ∩ΒΕ∩ΓΖ≡Κ $\Leftrightarrow \frac{AB}{B\Gamma}.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta E}.\frac{EZ}{ZA}=1.$
Παρατηρήσεις.
(α). Δική μας απόδειξη, για το Λήμμα 1, δε θα δώσουμε, εκτός και κριθεί σκόπιμο, ή μας ζητηθεί, καθώς την έχουμε δημοσιεύσει ,όπως είπαμε, στο περιοδικό της ΕΜΕ «ΔΙΑΣΤΑΣΗ» και στα [1], [2].
(β). Η μεγάλη αξία του Λήμματος 1, για τις εφαρμογές του, έγγειται στο ότι αληθεύει και το αντίστροφό του.
(γ). Το αντίστροφο της Πρότασης αυτής αληθεύει στο κυρτό εξάπλευρο και σε μερικές άλλες μορφές εξαάπλερων, όχι όμως σε όλες { Στα βιβλία [1], [2] δίνονται 5-6 μορφές εξάπλευρων που αληθεύει το αντίστροφο, ενώ εκεί δίνουμε τουλάχιστον 2 μορφές εξάπλευρων που δεν αληθεύει}.

Καλή επιτυχία σε όλους.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής

#2

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 2 ( 2η Βοηθητική Πρόταση):

β. Λήμμα 2 ( 2η Βοηθητική Πρόταση).
2α(43). Η συμμετροδιάμεσος [3] κάθε μιας πλευράς τριγώνου, είναι συζυγής [5] (§ 8-4.8) με την πλευρά αυτή, ως προς τον περιγεγραμμένο του κύκλο και αντίστροφα.

{Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στην 2α(43) του βιβλίου [2]. Η αξία της Πρότασης αυτής, για τις εφαρμογές της, έγκειται στο ότι αληθεύει και το αντίστροφό της. Μία άλλη απόδειξη της Πρότασης αυτής δίνουμε στο [2] (παράγραφος 1οι(132) τόμος 10}.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 και 2.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζή

#3

β. Λήμμα 2 ( 2η Βοηθητική Πρόταση).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 58, παρουσιάζουμε την μία από τις δύο αποδείξεις που έχουμε επιτύχει του πρωτοεμφανιζόμενου Λήμματος 2 (2η Βοηθητική Πρόταση), {έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(43) του βιβλίου μας [2]}.
Η αξία της Πρότασης 2α(43), για τις εφαρμογές της, έγκειται στο ότι αληθεύει και το αντίστροφό της.
Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 και 2, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#4

ΝΙΚΟΣ έγραψε:4. ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ (Λήμματα).
[Δίνουμε παρακάτω την Βοηθητική Πρόταση 1 και ζητάμε από τους φίλους να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω. Την Πρόταση αυτή έχουμε επινοήσει το 1988 και την έχουμε καταχωρήσει στο [1] (σελ. 1042, για πλήρη εξάπλευρα), όπως και στο [2] [§1α(17), για απλά εξάπλευρα]. Μας είπαν ότι το ευθύ της το έχουν δει στη βιβλιογραφία, αλλά πότε, πού; Ακόμη την Πρόταση αυτή έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό ΔΙΑΣΤΑΣΗ της ΕΜΕ (τεύχος 3-4/1998, με τις εφαρμογές της).

α. Λήμμα 1.(1η Βοηθητική Πρόταση) (Σχήμα 1, του συνημμένου μου 57).
Σε κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, το γινόμενο των τριών λόγων των μηκών των διαδοχικών πλευρών του, είναι ίσο με τη μονάδα, αν και μόνο αν συντρέχουν οι διαγώνιές του.
Δηλαδή ΑΔ∩ΒΕ∩ΓΖ≡Κ $\Leftrightarrow \frac{AB}{B\Gamma}.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta E}.\frac{EZ}{ZA}=1.$

Έχει τύχει να χρησιμποιήσω αυτό το Λήμμα, ως κριτήριο σύγκλισης τριών ευθειών, με την ακλολουθη ισοδύναμη εκφώνηση :

ΛΗΜΜΑ 1. - Σε κάθε εγγράψιμο εξάγωνο, το γινόμενο τριών μη διαδοχικών πλευρών του, είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων τριών και αντιστρόφως.

Απόδειξη. Έστω ABCD EF

το δοσμένο εξάγωνο, εγγεγραμμένο σε κύκλο (O)

και ότι $AD\cap BE\cap CF\equiv P.$

Από τα όμοια τρίγωνα $\triangle PAB,\ \triangle PED$ έχουμε ότι $\displaystyle\frac{AB}{DE} = \frac{PA}{PE} = \frac{PB}{PD}$ ,(1)

Από

$\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{(AB)^{2}}{(DE)^{2}} = \frac{PA}{PE}\cdot \frac{PB}{PD}$ ,(2)

Ομοίως, από τα όμοια τρίγωνα $\triangle PCD,\ \triangle PAF$ και $\triangle PEF,\ \triangle PBC$ , έχουμε ότι $\displaystyle\frac{(CD)^{2}}{(FA)^{2}} = \frac{PC}{PA}\cdot \frac{PD}{PF}$ ,(3)

και $\displaystyle\frac{(EF)^{2}}{(BC)^{2}} = \frac{PE}{PC}\cdot \frac{PF}{PB}$ ,(4)

Από $(2),\ (3),\ (4)$ $\Longrightarrow$ $(AB)\cdot (CD)\cdot (EF) = (BC)\cdot (DE)\cdot (FA)$ ,(5)

και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Το αντίστροφο

όταν ισχύει η (5)

σε εγγεγραμμένο εξάγωνο ABCD EF

$\Longrightarrow$ $AD\cap BE\cap CF\equiv P$

αποδεικνύεται εύκολα, αρκεί να θεωρήσουμε το σημείο $P\equiv AD\cap BD$ και έστω ότι $F^{\prime}\equiv (O)\cap CP.$

Τότε με βάση τα προηγούμενα έχουμε ότι $(AB)\cdot (CD)\cdot (EF^{\prime}) = (BC)\cdot (DE)\cdot (F^{\prime}A)$ ,(6)

Από $(5),\ (6)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{EF}{EF^{\prime}} = \frac{FA}{F^{\prime}A}$ ,(7)

το οποίο είναι άτοπο εάν $F^{\prime}\neq F$ .

Άρα, συμπεραίνεται ότι $F^{\prime}\equiv F$ και ολοκληρώνεται η απόδειξη του αντίστροφου.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Στην ελληνική βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου, δεν έχει τύχει να δω κάπου αυτήν την πρόταση ( Λήμμα 1 ). Νομίζω όμως ότι έρχεται από το παρελθόν και θα δώσω λεπτομέρειες αν βρω κάποια πληροφορία γι' αυτό.

#5

vittasko έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:4. ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ (Λήμματα).
[Δίνουμε παρακάτω την Βοηθητική Πρόταση 1 και ζητάμε από τους φίλους να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω. Την Πρόταση αυτή έχουμε επινοήσει το 1988 και την έχουμε καταχωρήσει στο [1] (σελ. 1042, για πλήρη εξάπλευρα), όπως και στο [2] [§1α(17), για απλά εξάπλευρα]. Μας είπαν ότι το ευθύ της το έχουν δει στη βιβλιογραφία, αλλά πότε, πού; Ακόμη την Πρόταση αυτή έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό ΔΙΑΣΤΑΣΗ της ΕΜΕ (τεύχος 3-4/1998, με τις εφαρμογές της).

α. Λήμμα 1.(1η Βοηθητική Πρόταση) (Σχήμα 1, του συνημμένου μου 57).
Σε κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο, το γινόμενο των τριών λόγων των μηκών των διαδοχικών πλευρών του, είναι ίσο με τη μονάδα, αν και μόνο αν συντρέχουν οι διαγώνιές του.
Δηλαδή ΑΔ∩ΒΕ∩ΓΖ≡Κ $\Leftrightarrow \frac{AB}{B\Gamma}.\frac{\Gamma \Delta }{\Delta E}.\frac{EZ}{ZA}=1.$
Έχει τύχει να χρησιμποιήσω αυτό το Λήμμα, ως κριτήριο σύγκλισης τριών ευθειών, με την ακλολουθη ισοδύναμη εκφώνηση :

ΛΗΜΜΑ 1. - Σε κάθε εγγράψιμπο τετράπλευρο, το γινόμενο τριών μη διαδοχικών πλευρών του, είναι ίσο με το γινόμενο των άλλων τριών και αντιστρόφως.

Απόδειξη. Έστω το δοσμένο εξάγωνο, εγγεγραμμένο σε κύκλο και ότι $AD\cap BE\cap CF\equiv P.$

Από τα όμοια τρίγωνα $\triangle PAB,\ \triangle PED$ έχουμε ότι $\displaystyle\frac{AB}{DE} = \frac{PA}{PE} = \frac{PB}{PD}$

Από $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{(AB)^{2}}{(DE)^{2}} = \frac{PA}{PE}\cdot \frac{PB}{PD}$

Ομοίως, από τα όμοια τρίγωνα $\triangle PCD,\ \triangle PAF$ και $\triangle PEF,\ \triangle PBC$ , έχουμε ότι $\displaystyle\frac{(CD)^{2}}{(FA)^{2}} = \frac{PC}{PA}\cdot \frac{PD}{PF}$ και $\displaystyle\frac{(EF)^{2}}{(BC)^{2}} = \frac{PE}{PC}\cdot \frac{PF}{PB}$

Από $(2),\ (3),\ (4)$ $\Longrightarrow$ $(AB)\cdot (CD)\cdot (EF) = (BC)\cdot (DE)\cdot (FA)$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

$\bullet$ Το αντίστροφο όταν ισχύει η σε εγγεγραμμένο εξάγωνο αποδεικνύεται εύκολα, αρκεί να θεωρήσουμε το σημείο $P\equiv AD\cap BD$ και έστω ότι $F^{\prime}\equiv (O)\cap CP.$

Τότε με βάση τα προηγούμενα έχουμε ότι $(AB)\cdot (CD)\cdot (EF^{\prime}) = (BC)\cdot (DE)\cdot (F^{\prime}A)$

Από $(5),\ (6)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{EF}{EF^{\prime}} = \frac{FA}{F^{\prime}A}$ το οποίο είναι άτοπο.

Άρα, συμπεραίνεται ότι $F^{\prime}\equiv F$ και ολοκληρώνεται η απόδειξη του αντίστροφου.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Στην ελληνική βιβλιογραφία που έχω υπόψη μου, δεν έχει τύχει να δω κάπου αυτήν την πρόταση ( Λήμμα 1 ). Νομίζω όμως ότι έρχεται από το παρελθόν και θα δώσω λεπτομέρειες αν βρω κάποια πληροφορία γι' αυτό.

Κώστα μου,
Σε ευχαριστώ πολύ για τη σαφέστατη απόδειξή του Λήμματος 1 και τις σχετικές πληροφορίες σου.
Εκείνο όμως που νομίζω ότι πρέπει να διευκρινισθεί είναι γιατί F≡F'. Τούτο βέβαια είναι πολύ εύκολο, αλλά νομίζω ότι πρέπει να διευκρινισθεί, για την πληρότητα.
Την Πρόταση αυτή, όπως και αλλού έχω αναφέρει, έχω επινοήσει προ 22 ετών και την έχω συμπεριλάβει στο βιβλίο μου [1] 1990 (σελίδα 1042), μάλιστα και για αντίστοιχα πλήρη εξάπλευρα.
Έτσι, αν συναντήσεις κάτι σχετικό προ του 1988, σε παρακαλώ πληροφόρησέ με.

Με πολύ αγάπη,
Νίκος Κυριαζής.

#6

Καλημέρα Νίκο, τι γίνεσαι ; Χαθήκαμε.

vittasko έγραψε:Από $(5),\ (6)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{EF}{EF^{\prime}} = \frac{FA}{F^{\prime}A}$ το οποίο είναι άτοπο εάν $F^{\prime}\neq F$ .

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Εκείνο όμως που νομίζω ότι πρέπει να διευκρινισθεί είναι γιατί F≡F'. Τούτο βέβαια είναι πολύ εύκολο, αλλά νομίζω ότι πρέπει να διευκρινισθεί, για την πληρότητα.

Για την τεκμηρίωση του άτοπου της (7)

αν θεωρηθεί ότι $F^{\prime}\neq F$ , μπορούμε να πούμε ότι το $F^{\prime}\equiv (O)\cap CP$ ορίζεται μεταξύ των $E,\ A,$ καθώς η προέκταση της

βρίσκεται πάντοτε στο εσωτερικό της γωνίας $\angle EPA.$

Αν θεωρήσουμε τώρα, ότι το $F^{\prime}$ βρίσκεται μεταξύ των $F,\ A,$ τότε προκύπτει ότι $\displaystyle\frac{EF}{EF^{\prime}} < 1$ ,(8)

και $\displaystyle\frac{FA}{F^{\prime}A} > 1$ ,(9)

Από $(8),\ (9)$ προκύπτει το άτοπο για την υπόθεση του ότι $F^{\prime}$ βρίσκεται μεταξύ των $F,\ A$

αφού συμπεραίνεται ότι αληθεύει η (7)

Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο και αν θεωρήσουμε ότι το $F^{\prime}$ βρίσκεται μεταξύ των $E,\ F$ .

Συμπεραίνεται έτσι ότι $F^{\prime}\equiv F$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#7

vittasko έγραψε:Καλημέρα Νίκο, τι γίνεσαι ; Χαθήκαμε.
vittasko έγραψε:Από $(5),\ (6)$ $\Longrightarrow$ $\displaystyle\frac{EF}{EF^{\prime}} = \frac{FA}{F^{\prime}A}$ το οποίο είναι άτοπο εάν $F^{\prime}\neq F$ .

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Εκείνο όμως που νομίζω ότι πρέπει να διευκρινισθεί είναι γιατί F≡F'. Τούτο βέβαια είναι πολύ εύκολο, αλλά νομίζω ότι πρέπει να διευκρινισθεί, για την πληρότητα.
Για την τεκμηρίωση του άτοπου της αν θεωρηθεί ότι $F^{\prime}\neq F$ , μπορούμε να πούμε ότι το $F^{\prime}\equiv (O)\cap CP$ ορίζεται μεταξύ των $E,\ A,$ καθώς η προέκταση της βρίσκεται πάντοτε στο εσωτερικό της γωνίας $\angle EPA.$

Αν θεωρήσουμε τώρα, ότι το $F^{\prime}$ βρίσκεται μεταξύ των $F,\ A,$ τότε προκύπτει ότι $\displaystyle\frac{EF}{EF^{\prime}} < 1$ και $\displaystyle\frac{FA}{F^{\prime}A} > 1$

Από $(8),\ (9)$ προκύπτει το άτοπο για την υπόθεση του ότι $F^{\prime}$ βρίσκεται μεταξύ των $F,\ A$ αφού συμπεραίνεται ότι αληθεύει η

Με τον ίδιο τρόπο καταλήγουμε σε άτοπο και αν θεωρήσουμε ότι το $F^{\prime}$ βρίσκεται μεταξύ των $E,\ F$ .

Συμπεραίνεται έτσι ότι $F^{\prime}\equiv F$ και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Έτσι είναι Κώστα.

Μια άλλη απόδειξη τούτου , χωρίς να καταφύγουμε στην άτοπο απαγωγή, μπορεί να είναι και η εξής:
Τα τρίγωνα AΕF, AEF' είναι όμοια, καθώς έχουν τις γωνίες AFΕ, AF'Ε ίσες και τις πλευρές τους ανάλογες [σχέση (7)]. Αλλά αυτά έχουν και κοινή την πλευρά τους ΑΕ, οπότε θα είναι ίσα και άρα F≡F', καθώς τα τρίγωνα αυτά συμπίπτουν.

Ακόμη τούτο μπορεί να αποδειχθεί και με τη χρήση του Απολλώνιου κύκλου.

Υ.Σ. Πραγματικά Κώστα χαθήκαμε. Εδώ όμως θα έχουμε μέλλον και πιστευω θα βλεπόμαστε τακτικά.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#8

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 3 ( 3η Βοηθητική Πρόταση):

γ. Λήμμα 3 (3η Βοηθητική Πρόταση).
Τομή Κεντρικής Δέσμης Τριών Ακτινών από Κύκλο (Ανάλογο Θεώρημα Πάππου).
2α(45). Αν επίπεδη κεντρική δέσμη τριών ακτινών ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, τέμνεται από κύκλο (Ο, R), σε έξι σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, όπου Δ $\in$ ΚΑ, Ε $\in$ ΚΒ, Ζ $\in$ ΚΓ, τότε και μόνο τότε για τις δύο τετράδες σημείων Α, Β, Γ, Ε και Δ, Ε, Ζ, Β, θα είναι:
(ΑΓΒΕ)=(ΔΖΕΒ) ή $\frac{AB}{B\Gamma }$ : $\frac{AE}{E\Gamma }$ = $\frac{\Delta E}{EZ}$ : $\frac{\Delta B}{BZ}$ . (1).
ή $\frac{AB}{B\Gamma }$ . $\frac{\Gamma E}{EA}$ = $\frac{\Delta E}{EZ}$ . $\frac{ZB}{B\Delta }$ . (2).

Παρατηρήσεις. .
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(45)] η οποία μπορεί να προκύψει από την Πρόταση 2α(44) του βιβλίου [2]. Και οι δύο αυτές πρωτοεμφανιζόμενες Προτάσεις είναι σημαντικές, καθώς αληθεύουν και τα αντίστροφά τους και κυρίως γιατί επεκτείνουν το γνωστό Θεώρημα Πάππου, το οποίο αφορά τομές επίπεδης κεντρικής δέσμης ευθειών τεμνομένων από ευθείες, ενώ εδώ έχουμε τομές επίπεδης κεντρικής δέσμης 3 και 4 ευθειών αντίστοιχα, τεμνομένων και επανατεμνόμενων από κύκλο.
Και τις δύο αυτές Προτάσεις, έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο (τεύχος 13 σελίδα 36), με μερικές εφαρμογές τους.
(β). Το παραπάνω Λήμμα 3 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1, 2 και 3.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

#9

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 3 ( 3η Βοηθητική Πρόταση):

γ. Λήμμα 3 (3η Βοηθητική Πρόταση).
Τομή Κεντρικής Δέσμης Τριών Ακτινών από Κύκλο (Ανάλογο Θεώρημα Πάππου).
2α(45). Αν επίπεδη κεντρική δέσμη τριών ακτινών ΚΑ, ΚΒ, ΚΓ, τέμνεται από κύκλο (Ο, R), σε έξι σημεία Α, Β, Γ, Δ, Ε, Ζ, όπου Δ $\in$ ΚΑ, Ε $\in$ ΚΒ, Ζ $\in$ ΚΓ, τότε και μόνο τότε για τις δύο τετράδες σημείων Α, Β, Γ, Ε και Δ, Ε, Ζ, Β, θα είναι:
(ΑΓΒΕ)=(ΔΖΕΒ) ή $\frac{AB}{B\Gamma }$ : $\frac{AE}{E\Gamma }$ = $\frac{\Delta E}{EZ}$ : $\frac{\Delta B}{BZ}$ . (1).
ή $\frac{AB}{B\Gamma }$ . $\frac{\Gamma E}{EA}$ = $\frac{\Delta E}{EZ}$ . $\frac{ZB}{B\Delta }$ . (2).

Παρατηρήσεις. .
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(45)] η οποία μπορεί να προκύψει από την Πρόταση 2α(44) του βιβλίου [2]. Και οι δύο αυτές πρωτοεμφανιζόμενες Προτάσεις είναι σημαντικές, καθώς αληθεύουν και τα αντίστροφά τους και κυρίως γιατί επεκτείνουν το γνωστό Θεώρημα Πάππου, το οποίο αφορά τομές επίπεδης κεντρικής δέσμης ευθειών τεμνομένων από ευθείες, ενώ εδώ έχουμε τομές επίπεδης κεντρικής δέσμης 3 και 4 ευθειών αντίστοιχα, τεμνομένων και επανατεμνόμενων από κύκλο.
Και τις δύο αυτές Προτάσεις, έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο (τεύχος 13 σελίδα 36), με μερικές εφαρμογές τους.
(β). Το παραπάνω Λήμμα 3 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1, 2 και 3.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

γ. Λήμμα 3 ( 3η Βοηθητική Πρόταση).
Τομή Κεντρικής Δέσμης Τριών Ακτινών από Κύκλο (Ανάλογο Θεώρημα Πάππου).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 59, παρουσιάζουμε την απόδείξη που έχουμε επιτύχει του πρωτοεμφανιζόμενου Λήμματος 3 (3η Βοηθητική Πρόταση), {έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(45) του βιβλίου μας [2]}.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1, 2 και 3, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#10

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 4 ( 4η Βοηθητική Πρόταση):

δ. Λήμμα 4 (4η Βοηθητική Πρόταση).
2α(48). Σε κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ με ΑΔ∩ΒΕ∩ΓΖ≡Κ[ανήκει στο δίσκο (Ο,R)], αν ένα από τα τετράπλευρά του: ΑΒΓΕ, ΒΓΔΖ, ΓΔΕΑ, ΔΕΖΒ, ΕΖΑΓ, ΖΑΒΔ, (1).
είναι αρμονικό, τότε αρμονικό θα είναι και ένα άλλο από τα τετράπλευρα της (1), κατά τις αντιστοιχίες: ΑΒΓΕ↔ΔΕΖΒ, ΓΔΕΑ↔ΖΑΒΔ, ΕΖΑΓ↔ΒΓΔΖ. (2).

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(48)].
(β). Το παραπάνω Λήμμα 4 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 4.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

#11

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 4 ( 4η Βοηθητική Πρόταση):

δ. Λήμμα 4 (4η Βοηθητική Πρόταση).
2α(48). Σε κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ με ΑΔ∩ΒΕ∩ΓΖ≡Κ[ανήκει στο δίσκο (Ο,R)], αν ένα από τα τετράπλευρά του: ΑΒΓΕ, ΒΓΔΖ, ΓΔΕΑ, ΔΕΖΒ, ΕΖΑΓ, ΖΑΒΔ, (1).
είναι αρμονικό, τότε αρμονικό θα είναι και ένα άλλο από τα τετράπλευρα της (1), κατά τις αντιστοιχίες: ΑΒΓΕ↔ΔΕΖΒ, ΓΔΕΑ↔ΖΑΒΔ, ΕΖΑΓ↔ΒΓΔΖ. (2).

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(48)].
(β). Το παραπάνω Λήμμα 4 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 4.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να βοηθήσουμε στην απόδειξη του Λήμματος 4, προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να βασισθούν στο Λήμμα 1, ή στο Λήμμα 3 ( που είναι πολύ πιο απλό).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#12

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 4 ( 4η Βοηθητική Πρόταση):

δ. Λήμμα 4 (4η Βοηθητική Πρόταση).
2α(48). Σε κάθε κυρτό εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ με ΑΔ∩ΒΕ∩ΓΖ≡Κ[ανήκει στο δίσκο (Ο,R)], αν ένα από τα τετράπλευρά του: ΑΒΓΕ, ΒΓΔΖ, ΓΔΕΑ, ΔΕΖΒ, ΕΖΑΓ, ΖΑΒΔ, (1).
είναι αρμονικό, τότε αρμονικό θα είναι και ένα άλλο από τα τετράπλευρα της (1), κατά τις αντιστοιχίες: ΑΒΓΕ↔ΔΕΖΒ, ΓΔΕΑ↔ΖΑΒΔ, ΕΖΑΓ↔ΒΓΔΖ. (2).

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(48)].
(β). Το παραπάνω Λήμμα 4 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 4.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να βοηθήσουμε στην απόδειξη του Λήμματος 4, προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να βασισθούν στο Λήμμα 1, ή στο Λήμμα 3 ( που είναι πολύ πιο απλό).

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

δ. Λήμμα 4 ( 4η Βοηθητική Πρόταση).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 60, παρουσιάζουμε τις δύο απόδείξεις που έχουμε επιτύχει για το πρωτοεμφανιζόμενο Λήμμα 4 (4η Βοηθητική Πρόταση), {έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(48) του βιβλίου μας [2]}.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 4, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#13

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 5 ( 5η Βοηθητική Πρόταση):

ε. Λήμμα 5 (5η Βοηθητική Πρόταση).
2α(53).Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) κυρτό εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ με συντρέχουσες διαγώνιες (κύριες) και του οποίου πχ η διαγώνιος ΒΕ περνά από την τομή δύο απέναντι πλευρών του $A_{2}$ ≡ΑΖ∩ ΓΔ, έχει αρμονικά τα δύο τετράπλευρα ΑΒΓΕ και ΔΕΖΒ και αντίστροφα.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(53)].
(β). Το παραπάνω Λήμμα 5 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 5.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

#14

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 5 ( 5η Βοηθητική Πρόταση):

ε. Λήμμα 5 (5η Βοηθητική Πρόταση).
2α(53).Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο (Ο,R) κυρτό εξάπλευρο ΑΒΓΔΕΖ με συντρέχουσες διαγώνιες (κύριες) και του οποίου πχ η διαγώνιος ΒΕ περνά από την τομή δύο απέναντι πλευρών του $A_{2}$ ≡ΑΖ∩ ΓΔ, έχει αρμονικά τα δύο τετράπλευρα ΑΒΓΕ και ΔΕΖΒ και αντίστροφα.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(53)].
(β). Το παραπάνω Λήμμα 5 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 5.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

ε. Λήμμα 5 ( 5η Βοηθητική Πρόταση).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 61, παρουσιάζουμε την απόδείξη που έχουμε επιτύχει για το πρωτοεμφανιζόμενο Λήμμα 5 (5η Βοηθητική Πρόταση), {έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(53) του βιβλίου μας [2]}.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 5, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#15

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 6 ( 6η Βοηθητική Πρόταση):

στ. Λήμμα 6 (6η Βοηθητική Πρόταση).
10ι(133). Αν οι κύριες διαγώνιες εγγεγραμμένου εξάπλευρου σε κύκλο συντρέχουν σε ένα σημείο, τότε το σημείο αυτό συμπίπτει με το σημείο Brianchon {[5]( § 11-11)}, του αντίστοιχου περιγεγραμμένου του.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 10ι(133) τόμος10].
(β). Το παραπάνω Λήμμα 5 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.
(γ). Γενίκευση της Πρότασης 10ι(133), για ν-πλευρά, δίνουμε στην § 1δ(2) του βιβλίου [2). Και οι δύο Προτάσεις αυτές αποτελούν προφανώς γενίκευση του Θεωρήματος του Νεύτωνα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

#16

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω το πρωτοεμφανιζόμενο πιστεύουμε, Λήμμα 6 ( 6η Βοηθητική Πρόταση):

στ. Λήμμα 6 (6η Βοηθητική Πρόταση).
10ι(133). Αν οι κύριες διαγώνιες εγγεγραμμένου εξάπλευρου σε κύκλο συντρέχουν σε ένα σημείο, τότε το σημείο αυτό συμπίπτει με το σημείο Brianchon {[5]( § 11-11)}, του αντίστοιχου περιγεγραμμένου του.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση αυτή έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 10ι(133) τόμος10].
(β). Το παραπάνω Λήμμα 5 απεδείχθη πολύτιμο για την απόδειξη Προτάσεων και ιδιαίτερα για Προτάσεις που αφορούν Αρμονικά Εξάπλευρα.
(γ). Γενίκευση της Πρότασης 10ι(133), για ν-πλευρά, δίνουμε στην § 1δ(2) του βιβλίου [2). Και οι δύο Προτάσεις αυτές αποτελούν προφανώς γενίκευση του Θεωρήματος του Νεύτωνα.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

Λήμμα 6 ( 6η Βοηθητική Πρόταση).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 62, παρουσιάζουμε την απόδείξη που έχουμε επιτύχει για το πρωτοεμφανιζόμενο Λήμμα 6 (6η Βοηθητική Πρόταση), {έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 10(133) (τόμος 10) του βιβλίου μας [2]}. H Πρόταση αυτή αποτελεί προφανώς επέκταση του Θεωρήματος του Νεύτωνα και σε εξάπλευρο.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#17

Αγαπητοί φίλοι,
μετά τα έξι παραπάνω Λήμματα, θα ακολουθήσουν Προτάσεις και Κριτήρια Αρμονικότητας των Αρμονικών Εξάπλευρων που είναι και το Κύριο Θέμα μας.
Παρακαλούμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#18

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
μετά τα έξι παραπάνω Λήμματα, θα ακολουθήσουν Προτάσεις και Κριτήρια Αρμονικότητας των Αρμονικών Εξάπλευρων που είναι και το Κύριο Θέμα μας.
Παρακαλούμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 1 Αρμονικών Εξάπλευρων.

5. ΚΥΡΙΩΣ ΜΕΡΟΣ.
Ιδιότητες Αρμονικών Εξάπλευρων (Προτάσεις, Κριτήρια Αρμονικότητας, Κατασκευές).

α. 1η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
(Σύγκλιση Διαγωνίων Αρμονικών Εξάπλευρων).
2α(46). Οι διαγώνιες (κύριες), των Αρμονικών Εξάπλευρων, συντρέχουν.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση 2α(46) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(46), όπου δίνουμε πέντε τρόπους απόδειξής της.
(β). Την Πρόταση αυτή, έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό ΔΙΑΣΤΑΣΗ της ΕΜΕ (τεύχος 3-4 /1998, σελίδα 33.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και της παραπάνω Πρότασης 2α(46).
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

#19

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
μετά τα έξι παραπάνω Λήμματα, θα ακολουθήσουν Προτάσεις και Κριτήρια Αρμονικότητας των Αρμονικών Εξάπλευρων που είναι και το Κύριο Θέμα μας.
Παρακαλούμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 1 Αρμονικών Εξάπλευρων.

5. ΚΥΡΙΩΣ ΜΕΡΟΣ.
Ιδιότητες Αρμονικών Εξάπλευρων (Προτάσεις, Κριτήρια Αρμονικότητας).

α. 1η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
(Σύγκλιση Διαγωνίων Αρμονικών Εξάπλευρων).
2α(46). Οι διαγώνιες (κύριες), των Αρμονικών Εξάπλευρων, συντρέχουν.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση 2α(46) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(46), όπου δίνουμε πέντε τρόπους απόδειξής της.
(β). Την Πρόταση αυτή, έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό ΔΙΑΣΤΑΣΗ της ΕΜΕ (τεύχος 3-4 /1998, σελίδα 33.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και της παραπάνω Πρότασης 2α(46).
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να βοηθήσουμε στην απόδειξη της 1ης Πρότασης "Αρμονικών Εξάπλευρων", προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να βασισθούν στο Λήμμα 1, ή στο Λήμμα 2, ή στο Λήμμα 3, ή στο Λήμμα 5 ( που είναι πολύ πιο απλό) ή στο Θεώρημα Gergonne, ή ακόμη στο Θεώρημα των διχοτόμων.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

#20

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
ΝΙΚΟΣ έγραψε:Αγαπητοί φίλοι,
μετά τα έξι παραπάνω Λήμματα, θα ακολουθήσουν Προτάσεις και Κριτήρια Αρμονικότητας των Αρμονικών Εξάπλευρων που είναι και το Κύριο Θέμα μας.
Παρακαλούμε τους ενδιαφερόμενους φίλους, να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Αγαπητοί φίλοι,
δίνουμε παρακάτω την πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύουμε, Πρόταση 1 Αρμονικών Εξάπλευρων.

5. ΚΥΡΙΩΣ ΜΕΡΟΣ.
Ιδιότητες Αρμονικών Εξάπλευρων (Προτάσεις, Κριτήρια Αρμονικότητας).

α. 1η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
(Σύγκλιση Διαγωνίων Αρμονικών Εξάπλευρων).
2α(46). Οι διαγώνιες (κύριες), των Αρμονικών Εξάπλευρων, συντρέχουν.

Παρατηρήσεις.
(α). Η Πρόταση 2α(46) έχει καταχωρηθεί στο βιβλίο μας [2] [§ 2α(46), όπου δίνουμε πέντε τρόπους απόδειξής της.
(β). Την Πρόταση αυτή, έχουμε δημοσιεύσει στο περιοδικό ΔΙΑΣΤΑΣΗ της ΕΜΕ (τεύχος 3-4 /1998, σελίδα 33.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6, όπως και της παραπάνω Πρότασης 2α(46).
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Ευχαριστώ
Νίκος Κυριαζής

Αγαπητοί φίλοι,
προκειμένου να βοηθήσουμε στην απόδειξη της 1ης Πρότασης "Αρμονικών Εξάπλευρων", προτείνουμε στους ενδιαφερόμενους φίλους, να βασισθούν στο Λήμμα 1, ή στο Λήμμα 2, ή στο Λήμμα 3, ή στο Λήμμα 5 ( που είναι πολύ πιο απλό) ή στο Θεώρημα Gergonne, ή ακόμη στο Θεώρημα των διχοτόμων.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

α. 1η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων.
(Σύγκλιση Διαγωνίων Αρμονικών Εξάπλευρων).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μας 64, παρουσιάζουμε δύο αποδείξεις που έχουμε επιτύχει για την πρωτοεμφανιζόμενη 1η Πρόταση Αρμονικών Εξάπλευρων {έχει καταχωρηθεί στην παράγραφο 2α(46) (τόμος 2) του βιβλίου μας [2]}.

Προτείνουμε σε όλους τους φίλους και προπαντός σε εκείνους που ασχολούνται με τη Γεωμετρία, να ασχοληθούν και να μας παρουσιάσουν τις δικές τους αποδείξεις των παραπάνω Λημμάτων 1 μέχρι 6 κα της Πρότασης 2α(46), φυσικά μέσα στο πνεύμα που αναφέρεται παραπάνω.
Ακόμη να μας παρουσιάσουν δικές τους Προτάσεις και Κριτήρια με ιδιότητες των Αρμονικών Εξάπλευρων, σαν εκείνα που θα ακολουθήσουν.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ - ΑΡΜΟΝΙΚΑ ΕΞΑΠΛΕΥΡΑ (έρευνα).

Μέλη σε σύνδεση