Aνισότητα με πλευρές τριγώνου!

#1

Αν $\displaystyle{a,b,c}$ πλευρές τριγώνου εμβαδού $\displaystyle{E}$ , να αποδειχθεί ότι ισχύει

$\displaystyle{E< \frac{1}{2}\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}.}$

kwstas12345 · #2

Μια λύση:

Eίναι σε κάθε τρίγωνο: $\displaystyle \sum{a^{3}}=2s\left(s^{2}-3r^{2}-6Rr \right),\sum{a}=2s$

Άρα: $\displaystyle \frac{1}{2}\left(\sum{a^{3}} \right)\left(\sum{a} \right)^{-1}=\frac{1}{2}\left( s^{2}-3r^{2}-6Rr\right)>sr\Leftrightarrow s^{2}-3r^{2}-6Rr-2sr>0$

Επειδή: $\displaystyle s^{2}\geq 16Rr-5r^{2}=12Rr+4Rr-5r^{2}\geq 12Rr+8r^{2}-5r^{2}\Rightarrow s^{2}\geq 12Rr+3r^{2}$

Άρα:

$\displaystyle s^{2}-3r^{2}-6Rr-2sr\geq 12Rr-6Rr+3r^{2}-3r^{2}-2sr=6Rr-2sr=2r\left(3R-s \right)\geq 2r\left(\frac{2s}{\sqrt{3}}-s \right)=2sr\left(\frac{2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)>0$

που είναι και το ζητούμενο...

Πιστεύω να μην χάνω κάπου....

#3

Κώστα,

Και αυτή ήταν από το In the world of Mathematics (και απ'ό,τι φαίνεται ήταν εύκολη)

#4

Εναλλακτική απόδειξη:

Χρησιμοποιώντας τον τύπο $E=\frac{abc}{4R}$ και τον Νόμο των Ημιτόνων, και θέτοντας $\eta\mu A=x$ , $\eta\mu B=y$ , $\eta\mu C=z$ , ανάγουμε την ζητούμενη ανισότητα στην

$x^{3}+y^{3}+z^{3}>xyz(x+y+z)$ για

,

στο $(0,\:1]$ ,

μια ανισότητα που είναι περίπου προφανής λόγω

$x^{3}+y^{3}+z^{3}>3xyz>xyz(x+y+z)$ .

Γιώργος Μπαλόγλου

Aνισότητα με πλευρές τριγώνου!

Aνισότητα με πλευρές τριγώνου!

Re: Aνισότητα με πλευρές τριγώνου!

Re: Aνισότητα με πλευρές τριγώνου!

Re: Aνισότητα με πλευρές τριγώνου!

Μέλη σε σύνδεση