Ανισότητα σε τρίγωνο!

#1

$\displaystyle{\bullet}$ Αν $\displaystyle{ABC}$ τρίγωνο, αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\frac{\cot A \cot B \cot C}{\sin A \sin B \sin C }\leq \Big(\frac{2}{3}\Big)^3.}$

#2

Αν το τρίγωνο είναι αμβλυγώνιο ούτε συζήτηση, ισχύει!

Αφού μια εκ των cot θα είναι αρνητική(και τα υπόλοιπα θετικά).

Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο τότε πάλι ισχύει αφού μία εκ των cot είναι μηδέν.

Αν ισχύει και σε οξυγώνιο καθαρίσαμε.

Έστω λοιπόν A,Β,C γωνίες στο (0,π/2).

Αρκεί:

$\displaystyle{ \frac{{\cot A\cot B\cot C}}{{\sin A\sin B\sin C}} \le \left( {\frac{2}{3}} \right)^3 \Leftarrow 27\cot A\cot B\cot C \le 8\sin A\sin B\sin C\mathop \Leftarrow \limits^{\sin A,\sin B,\sin C > 0} 27\cos A\cos B\cos C \le 8\sin ^2 A\sin ^2 B\sin ^2 C }$

Πολλαπλασιάζοντας επί

$\displaystyle{ 8\sin A\sin B\sin C > 0 }$

αρκεί:

$\displaystyle{ 27(8\sin A\sin B\sin C\cos A\cos B\cos C) \le 64\sin ^3 A\sin ^3 B\sin ^3 C \Leftarrow 27\sin 2A\sin 2B\sin 2C \le (4\sin A\sin B\sin C)^3 }$ (1)

Η τελευταία ισχυρίζομαι πως ισχύει. Θα το αποδείξω ευθύς αμέσως.

Κατ'αρχήν Α+B+C=180 =>2A+2B+2C=360

Έχω

$\displaystyle{ \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = \sin 2A + \sin 2B + \sin (2\pi - (A + B)) = \sin 2A + \sin 2B - \sin 2A\cos 2B - \sin 2B\cos 2A }$

ή

$\displaystyle{ \sin 2A(1 - \cos 2B) + \sin 2B(1 - \cos 2A) = 4\sin A\cos A\sin ^2 B + 4\sin B\cos B\sin ^2 A }$

συνεχίζοντας:

$\displaystyle{ 4\sin A\cos A\sin ^2 B + 4\sin B\cos B\sin ^2 A = 4\sin A\sin B(\sin A\cos B + \sin B\cos A) }$

ή

$\displaystyle{ 4\sin A\sin B\sin (A + B) = 4\sin A\sin B\sin (\pi - A - B) = 4\sin A\sin B\sin C }$

Τώρα:
απο την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου έχω:

$\displaystyle{ 4\sin A\sin B\sin C = \sin 2A + \sin 2B + \sin 2C \ge 3\sqrt[3]{{\sin 2A\sin 2B\sin 2C}} \Rightarrow (4\sin A\sin B\sin C)^3 \ge 27\sin 2A\sin 2B\sin 2C }$

δηλαδή η (1).

Υ.Γ Θάνο αφού έσκισα τα ρούχα μου με τη συνάρτηση που σου είχα πεί, δοκίμασα αυτό. Νομίζω πως πέτυχε!

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο!

Μέλη σε σύνδεση