Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

#1

Ένα ορθογώνιου είναι διαμερισμένο σε μικρότερα ορθογώνια. (Με τις πλευρές τους παράλληλες στις πλευρές του αρχικού ορθογωνίου.) Γνωρίζουμε ότι κάθε ένα από τα μικρότερα ορθογώνια έχει τουλάχιστον μία πλευρά με ακέραιο μήκος. Να αποδειχθεί ότι και το μεγάλο ορθογώνιο έχει τουλάχιστον μία πλευρά με ακέραιο μήκος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Το ξέρω το άρθρο (του Wagon) και πραγματικά όλες οι αποδείξεις (αν θυμάμαι καλά, 14 το αριθμό) είναι απίθανες. Σκέτη απόλαυση. Ενθαρρύνω και εγώ τα μέλη μας να σκεφτούν το πρόβλημα. Υπάρχουν και στοιχειώδεις αποδείξεις.

Το ενδιαφέρον είναι ότι μερικές από τις παραπάνω αποδείξεις είναι τόσο "ουρανοκατέβατες", που όταν ξεκινάς να τις διαβάζεις σκέπτεσαι ότι δεν είναι δυνατόν αυτή η μέθοδος να οδηγεί σε λύση. Και όμως ...

Φιλικά,

Μιχάλης

userresu · #3

-λαθος-

#4

userresu έγραψε:Για τους διαμερισμούς του S(k) συνεχίζει ισχύει η ιδιότητα που λέει ότι έχουν ακέραιο μήκος ή ύψος, αφού αν η κατακόρυφη διαχωριστική γραμμή στο k "χωρίζει" ένα υπο-ορθογώνιο με ακέραιο μήκος, το χωρίζει σε δύο κομμάτια με ακέραιο μήκος (επειδή k ακέραιος), ενώ το ύψος παραμένει πάντα σταθερό.

Νομίζω εδώ υπάρχει λάθος. Για παράδειγμα στο πιο κάτω σχήμα το S(1)

έχει δυο ορθογώνια με διαστάσεις $1/2 \times 1/2$ .

#5

Επαναφέρω βάζοντας μία από τις 14 αποδείξεις. Θα χρησιμοποιήσω το (δισδιάστατο) θεώρημα του Sperner που αναφέρω εδώ. Απλά

στον James Schmerl που έδωσε αυτήν την απόδειξη.

Τοποθετούμε το ορθογώνιο με την κάτω αριστερά γωνία στο (0,0)

και τις πλευρές παράλληλες προς τους άξονες. Χωρίζουμε κάθε ένα από τα μικρά ορθογώνια σε τρίγωνο φέρνοντας μια (οποιαδήποτε) από τις δύο διαγωνίους του. Βάζουμε σε κάθε μια από της κορυφές (x,y)

των ορθογώνιων
- Τον αριθμό

αν ο

είναι φυσικός.
- Τον αριθμό

αν ο

είναι φυσικός αλλά ο

όχι.
- Τον αριθμό

αν ούτε ο

ούτε ο

είναι φυσικός.
Υποθέτουμε ότι τα μήκη των πλευρών του ορθογωνίου δεν είναι φυσικοί. Τότε
Κάτω αριστερά και πάνω αριστερά έχουμε το

. Κάτω δεξιά το

. Πάνω δεξιά το

. Επίσης στην κάτω πλευρά δεν εμφανίζεται το

, στην αριστερά εμφανίζεται πάντα το

, στην πάνω δεν εμφανίζεται το

και στην δεξιά δεν εμφανίζεται το

.
Ονομάζουμε ένα τρίγωνο καλό αν σε αυτό εμφανίζονται όλοι οι αριθμοί. Από το θεώρημα Sperner (από μια απλή παραλλαγή του) υπάρχει περιττός αριθμός καλών τριγώνων άρα υπάρχει τουλάχιστον ένα καλό τρίγωνο. Όμως σε κάθε τρίγωνο επειδή από το πρόβλημα τουλάχιστον μία πλευρά του είναι ακέραιος αριθμός, οι κορυφές που βρίσκονται σε αυτήν την πλευρά θα πρέπει να έχουν τον ίδιο ακριβώς αριθμό. Άτοπο.

Άρα τουλάχιστον μια πλευρά έχει ακέραιο μήκος.

Alex1994 · #6

Παρατηρούμε ότι ένα ορθογώνιο

με πλευρές παράλληλες στους άξονες έχει μια ακέραια πλευρά αν και μόνο αν $\int_{R} f_i(x,y) dxdy=0$ για κάθε i=1,2,3,4

, όπου $f_1 (x,y)=sin( 2\pi x) sin( 2\pi y)$ , $f_2 (x,y)=sin( 2\pi x) cos( 2\pi y)$ , $f_3 (x,y)=cos( 2\pi x) sin( 2\pi y)$ , $f_4 (x,y)=cos( 2\pi x) cos( 2\pi y)$ . Τότε, άμα έχουμε μια διαμέριση του

σε πεπερασμένο πλήθος ορθογώνιων R_j

με τουλάχιστον 1 ακέραια πλευρά το καθένα, έχουμε $\int_{R} f_i(x,y) dxdy= \sum_{j} \int_{R_j} f_i(x,y) dxdy=0$ , άρα το

έχει τουλάχιστον μια ακέραια πλευρά.

Αρχιμήδης 6 · #7

Demetres έγραψε:Ένα ορθογώνιου είναι διαμερισμένο σε μικρότερα ορθογώνια. (Με τις πλευρές τους παράλληλες στις πλευρές του αρχικού ορθογωνίου.) Γνωρίζουμε ότι κάθε ένα από τα μικρότερα ορθογώνια έχει τουλάχιστον μία πλευρά με ακέραιο μήκος. Να αποδειχθεί ότι και το μεγάλο ορθογώνιο έχει τουλάχιστον μία πλευρά με ακέραιο μήκος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Σήμερα έτυχε να πέσει στην αντίληψή μου ένα άρθρο με πάρα πολλές αποδείξεις αυτού του θεωρήματος, η μια καλύτερη από την άλλη. Ίσως αργότερα παραθέσω μερικές. Ας δούμε όμως πρώτα τις δικές σας.

Ας το κάνω συμβολικά γιατί δεν έχω σχήμα στην λύση.

Ας υποθέσουμε ότι χωρίζουμε το ορθογώνια μας σε txk

ορθογώνια .

Η πλευρές όλων των ορθογωνίων θα είναι:

(a_1, b_1)

,

........

,

........

,

. . ........ .
. . ......... .
. (a_1,b_k)

,

.........

Χωρίς βλάβη της γενικότητας έστω ότι a_2

δεν είναι ακέραιος.

Τότε υπάρχουν

ορθογώνια με μια πλευρά a_2

και αφού δεν είναι ακέραιος θα είναι η άλλες δηλαδή οι b_i

για

Άρα

ακέραιος που είναι η κατακόρυφη του μεγάλου ορθογωνίου.

#8

Αρχιμήδης 6 έγραψε: Ας υποθέσουμε ότι χωρίζουμε το ορθογώνια μας σε ορθογώνια

Δημήτρη, δεν είναι τόσο απλά τα πράγματα. Βλέπε για παράδειγμα το σχήμα, όπου η διμέριση είναι πιο σύνθετη.

Μ.

Αρχιμήδης 6 · #9

Θα την ξανακοιτάξω για να δώσω λύση και για αυτή την περίπτωση.

Αρχιμήδης 6 · #10

Το πρόβλημα λύνεται κατασκευαστικά...

Ξεκινάς με ένα ορθογώνιο και έχεις 3 επιλογές για να βάλεις άλλο ένα ορθογώνιο με την προϋπόθεση ότι το νέο ορθογώνιο θα το τοποθετήσεις ώστε οι πλευρές του να είναι παράλληλες στο αρχικό και τα 2 ορθογώνια να έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο . Και στις 3 δυνατές επιλογές θα υπάρχει ένα νέο εξωτερικό ορθογώνιο που είναι περιγεγραμμένο του σχήματος που έχουμε. Το περιγεγραμμένο ορθογώνιο (το εξωτερικό ) θα έχει τουλάχιστον μια πλευρά ακέραια. Επαγωγικά λοιπόν αποδεικνύεται το ζητούμενο.

Υ.Γ Δεν ξέρω να σχεδιάζω για να γίνω πιο κατανοητός .

#11

Αρχιμήδης 6 έγραψε: Ξεκινάς με ένα ορθογώνιο και έχεις 3 επιλογές για να βάλεις άλλο ένα ορθογώνιο με την προϋπόθεση ότι το νέο ορθογώνιο θα το τοποθετήσεις ώστε οι πλευρές του να είναι παράλληλες στο αρχικό και τα 2 ορθογώνια να έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο . Και στις 3 δυνατές επιλογές θα υπάρχει ένα νέο εξωτερικό ορθογώνιο που είναι περιγεγραμμένο του σχήματος που έχουμε. Το περιγεγραμμένο ορθογώνιο (το εξωτερικό ) θα έχει τουλάχιστον μια πλευρά ακέραια. Επαγωγικά λοιπόν αποδεικνύεται το ζητούμενο.

Υ.Γ Δεν ξέρω να σχεδιάζω για να γίνω πιο κατανοητός .

Δημήτρη,

Ίσως δεν κατάλαβα τι εννοείς, αλλά δεν νομίζω ότι είναι σωστό αυτό που γράφεις, ότι δηλαδή το ορθογώνιο με διαμέριση σε n+1

μικρότερα προκύπτει από την προσθήκη ενός νέου σε κάποιο με διαμέριση σε

ορθογώνια. Για παράδειγμα ποιο είναι το προηγούμενο στάδιο της παρακάτω διαμέρισης σε

μικρότερα;

Αρχιμήδης 6 · #12

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Αρχιμήδης 6 έγραψε: Ξεκινάς με ένα ορθογώνιο και έχεις 3 επιλογές για να βάλεις άλλο ένα ορθογώνιο με την προϋπόθεση ότι το νέο ορθογώνιο θα το τοποθετήσεις ώστε οι πλευρές του να είναι παράλληλες στο αρχικό και τα 2 ορθογώνια να έχουν τουλάχιστον ένα κοινό σημείο . Και στις 3 δυνατές επιλογές θα υπάρχει ένα νέο εξωτερικό ορθογώνιο που είναι περιγεγραμμένο του σχήματος που έχουμε. Το περιγεγραμμένο ορθογώνιο (το εξωτερικό ) θα έχει τουλάχιστον μια πλευρά ακέραια. Επαγωγικά λοιπόν αποδεικνύεται το ζητούμενο.

Υ.Γ Δεν ξέρω να σχεδιάζω για να γίνω πιο κατανοητός .
Δημήτρη,

Ίσως δεν κατάλαβα τι εννοείς, αλλά δεν νομίζω ότι είναι σωστό αυτό που γράφεις, ότι δηλαδή το ορθογώνιο με διαμέριση σε μικρότερα προκύπτει από την προσθήκη ενός νέου σε κάποιο με διαμέριση σε ορθογώνια. Για παράδειγμα ποιο είναι το προηγούμενο στάδιο της παρακάτω διαμέρισης σε μικρότερα;

Θα σχεδίαζα τα 2 ορθογώνια που κάνουν γάμα και εφάπτονται κάθετα(πάνω αριστερά). Αυτό το σχήμα θα είχε έναν περιγεγραμμένο ορθογώνιο, Πάνω σε αυτό θα σχεδίαζα το πάνω δεξιά ορθογώνιο για να καταλήξω στο τελικό σχήμα.Το κάτω δεξιά στην περίπτωση μας δεν μας νοιάζει...

#13

Αρχιμήδης 6 έγραψε:Το κάτω δεξιά στην περίπτωση μας δεν μας νοιάζει...

Μα, μας νοιάζει για να χρησιμοποιήσουμε την επαγωγική υπόθεση.

Η επαγωγική υπόθεση είναι για ορθογώνια παραλληλόγραμμα, οπότε στο προηγούμενο σχήμα πρέπει να βλέπουμε πλήρη οροθώνια παραλληλόγραμμα με την εν λόγω ιδιότητα.

#14

Δημήτρη το παραπάνω "περιγεγραμμένο" ορθογώνιο που γραφείς δεν είναι απαραίτητο να έχει μια πλευρά που να είναι ακέραιος αριθμός εκτός αν δεν κατάλαβα καλά.

Το παραπάνω εξαιρετικό πρόβλημα ήταν η αφορμή μιας εργασίας που παρουσίασα πέρυσι στη μαθηματική εβδομάδα στη Θεσσαλονίκη. Υπάρχει εδώ και περιέχει διάφορα προβλήματα που η λύση τους γίνεται με τη βοήθεια χρωματισμού του σχήματος.

Για την ιστορία να αναφέρω ότι την άσκηση μας την είχε δώσει σαν "σπαζοκεφαλιά" ο καθηγητής του τμήματος Μαθηματικών του πανεπιστημίου Κρήτης κ. Νίκος Τζανάκης σε κάποιο μάθημα στο μεταπτυχιακό το 2005. Έσπασα το κεφάλι μου στην κυριολεξία για πολύ καιρό μέχρι να καταλήξω στην απόδειξη (είχα ξαναδεί όμως πρόβλημα του οποίου η λύση γινόταν με χρωματισμό). Όταν έδωσα τη λύση που η υπάρχει στο συνημμένο (Πρόβλημα 9), πήγαμε με τον κ. Τζανάκη στο γραφείο του κ. Μιχ. Λάμπρου για να δούμε αν η λύση υπήρχε ανάμεσα στις 14 εξαιρετικές λύσεις του Wagon που μνημονευθεί παραπάνω ο κ. Μιχάλης. Φυσικά υπήρχε προς απογοήτευση μου...και για άλλη μια φορά προσγειώθηκα απότομα αφού την "καλή" ιδέα που νόμιζα ότι είχα σκεφτεί για το πρόβλημα, την είχε ήδη σκεφτεί και κάποιος άλλος πριν από μένα.

Νιώθεις τόσο μικρός απέναντι σε αυτό που ονομάζουμε μαθηματικά... άλλα αυτό είναι και το γοητευτικό!

Αλέξανδρος

Αρχιμήδης 6 · #15

Ναι Αλέξανδρε έχεις δίκιο ότι το νέο ορθογώνιο δεν έχει σίγουρα ακέραια πλευρά. Αφιέρωσα ελάχιστο χρόνο για το πρόβλημα ...Θα το δω πιο σοβαρά.

Ευχαριστώ Μιχάλη και Αλέξανδρε.

Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Re: Διαμερισμός ορθογωνίου σε ορθογώνια

Μέλη σε σύνδεση