Από το Βιετνάμ!

#1

Έστω τρίγωνο $\displaystyle{ABC}$ , στο οποίο το βαρύκεντρο $\displaystyle{G}$ βρίσκεται στο εσωτερικό του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\max \{a^2,b^2,c^2\}<4 \min \{ab,bc,ca\}}$ .

#2

Επαναφορά!

#3

Χωρίς βλάβη ας είναι $a\geq b\geq c.$ Αρκεί να δείξουμε ότι a^2<4bc.

Από τον τύπο του Leibniz $IA^2+IB^2+IC^2=3IG^2+\dfrac{1}{3}\left (a^2+b^2+c^2\right ).$

Από τις γνωστές σχέσεις

IA^2=(s-a)^2+r^2

και την υπόθεση IG<r

προκύπτει ότι

$(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2<\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$

$(s-a)^2+(s-b-s+c)^2+2(s-b)(s-c)<\dfrac{1}{3}(a^2+b^2+c^2)$

$(s-a)^2+(b-c)^2+\dfrac{1}{2}[a^2-(b-c)^2]<\dfrac{1}{3}a^2+\dfrac{1}{3}(b-c)^2+\dfrac{2}{3}bc$

$(s-a)^2+\dfrac{1}{6}(b-c)^2<\dfrac{4bc-a^2}{6}$

και από εδώ προκύπτει το ζητούμενο.

Από το Βιετνάμ!

Από το Βιετνάμ!

Re: Από το Βιετνάμ!

Re: Από το Βιετνάμ!

Μέλη σε σύνδεση