Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 2008

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 2008

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Σάβ Μαρ 19, 2011 2:13 pm

εδώ

(Για κάποιο λόγο τα αρχεία μου βγαίνουν μεγάλα και δεν μπορώ να τα επισυνάψω σε μήνυμα. Αν κάποιος ξέρει πως μπορώ να τα μικρύνω ας στείλει π.μ.)


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
erxmer
Δημοσιεύσεις: 1615
Εγγραφή: Δευ Σεπ 13, 2010 7:49 pm
Επικοινωνία:

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από erxmer » Σάβ Μαρ 19, 2011 3:06 pm

2008 (compressed)
Συνημμένα
2008.PDF
(391.69 KiB) Μεταφορτώθηκε 301 φορές


Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Σάβ Μαρ 19, 2011 3:10 pm

Η ποιότητα είναι μειωμένη σε σχέση με το αρχείο που ανέβασα.

Θα συνεχίσω να τα ανεβάζω στα αρχεία και να δίνω παραπομπή μέσω μηνύματος...

Ευχαριστώ πάντως για το ενδιαφέρον...


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Σάβ Μαρ 19, 2011 3:29 pm

Μια βελτιστοποίηση του αρχείου του Αντώνη.
Συνημμένα
mesooloy.pdf
(274.97 KiB) Μεταφορτώθηκε 249 φορές


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6097
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Τετ Μαρ 23, 2011 12:32 am

Το 4ο θέμα είναι το εξής:

Αν \displaystyle{x,y,z\in [0,1)} με \displaystyle{x+y+z=1,} να αποδείξετε ότι ισχύει

\displaystyle{\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{zx}{y+zx}}\leq \frac{3}{2}.}
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Μία συντομότερη και απλούστερη απόδειξη είναι η ακόλουθη:

Είναι \displaystyle{z+xy=z(x+y+z)+xy=(z+x)(z+y)} και όμοια για τα \displaystyle{y+zx,x+yz,} οπότε έχουμε από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ

\displaystyle{\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{zx}{y+zx}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z} \right)=\frac{3}{2}.}


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης