Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 2008

Νασιούλας Αντώνης · #1

εδώ

(Για κάποιο λόγο τα αρχεία μου βγαίνουν μεγάλα και δεν μπορώ να τα επισυνάψω σε μήνυμα. Αν κάποιος ξέρει πως μπορώ να τα μικρύνω ας στείλει π.μ.)

erxmer · #2

2008 (compressed)

Νασιούλας Αντώνης · #3

Η ποιότητα είναι μειωμένη σε σχέση με το αρχείο που ανέβασα.

Θα συνεχίσω να τα ανεβάζω στα αρχεία και να δίνω παραπομπή μέσω μηνύματος...

Ευχαριστώ πάντως για το ενδιαφέρον...

nonlinear · #4

Μια βελτιστοποίηση του αρχείου του Αντώνη.

#5

Το 4ο θέμα είναι το εξής:

Αν $\displaystyle{x,y,z\in [0,1)}$ με $\displaystyle{x+y+z=1,}$ να αποδείξετε ότι ισχύει

$\displaystyle{\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{zx}{y+zx}}\leq \frac{3}{2}.}$
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Μία συντομότερη και απλούστερη απόδειξη είναι η ακόλουθη:

Είναι $\displaystyle{z+xy=z(x+y+z)+xy=(z+x)(z+y)}$ και όμοια για τα $\displaystyle{y+zx,x+yz,}$ οπότε έχουμε από την ανισότητα ΑΜ-ΓΜ

$\displaystyle{\sqrt{\frac{xy}{z+xy}}+\sqrt{\frac{yz}{x+yz}}+\sqrt{\frac{zx}{y+zx}}=\sum \sqrt{\frac{xy}{(z+x)(z+y)}}\leq \frac{1}{2}\sum \left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{y+z} \right)=\frac{3}{2}.}$

Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 2008

Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 2008

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

Re: Θέματα-Λύσεις 11ης Μεσογειακής Μαθηματικής Ολυμπιάδας 20

Μέλη σε σύνδεση