Σημεία στο εσωτερικό πολυγώνου (από το QUANTUM)

dement · #1

Καλημέρα σε όλους.

Να βρεθεί ο ελάχιστος αριθμός σημείων στο εσωτερικό κυρτού

-γώνου

, έτσι ώστε κάθε τρίγωνο που οι κορυφές του είναι κορυφές του

να έχει τουλάχιστον ένα σημείο στο εσωτερικό του.

#2

: n-2 σημεία.jpg (66.47 KiB) Προβλήθηκε 3582 φορές

Έστω το κυρτό n-γωνο $\displaystyle{{A_1}{A_2}{A_3}..{A_{n - 2}}{A_{n - 1}}{A_n}}$ (το τοποθετούμε σε κύκλο για χάρη ευκολίας του σχήματος).
Επειδή τα τρίγωνα $\displaystyle{{A_1}{A_2}{A_3}{\text{ }}{\text{, }}{A_1}{A_3}{A_4}{\text{ }}{\text{, }}{A_1}{A_4}{A_5}{\text{ }}{\text{, }}..{\text{ }}{\text{, }}{A_1}{A_{n - 1}}{A_n}}$ είναι ξένα μεταξύ τους, έπεται ότι το πλήθος

των απαιτούμενων σημείων είναι $\displaystyle{N \geqslant n - 2}$ . Επομένως αν βρούμε κατασκευή, με τα δεδομένα του προβλήματος, που να απαιτούνται ακριβώς n-2

σημεία, τότε αυτή θα είναι και η απάντηση στο πρόβλημα..
Κάνουμε την εξής τοποθέτηση: Για κάθε κορυφή $\displaystyle{{A_i}{\text{ }}{\text{, }}i = 1,2,3,..,n - 2}$ , κατασκευάζουμε τα τρίγωνα $\displaystyle{{A_i}{A_{n - 1}}{A_n}{\text{ \& }}{A_i}{A_{i - 1}}{A_{i + 1}}}$ ( $\displaystyle{{A_0} \equiv {A_n}}$ ). Στο κοινό τους τμήμα τοποθετούμε το σημείο $\displaystyle{{\Sigma _i}}$ . Τα n-2

αυτά σημεία είναι τα ζητούμενα διότι :
Α) Έστω $\displaystyle{{A_i}{A_j}{A_k}}$ τυχαίο τρίγωνο. Αν καμία από τις κορυφές δεν είναι τα σημεία $\displaystyle{{A_{n - 1}}{\text{ }}{\text{, }}{A_n}}$ τότε η πλευρά $\displaystyle{{A_{n - 1}}{A_n}}$ θα είναι εσωτερική σε μια από τις γωνίες του τριγώνου, άρα από την κατασκευή των σημείων $\displaystyle{{\Sigma _i}}$ , το τρίγωνο θα περιέχει κάποιο σημείο $\displaystyle{{\Sigma _i}}$ .
Β) Αν ένα από τα σημεία $\displaystyle{{A_{n - 1}}{\text{ }}{\text{, }}{A_n}}$ είναι κορυφή του τριγώνου, η περίπτωση είναι παρόμοια με την Α
Γ) Αν τα σημεία $\displaystyle{{A_{n - 1}}{\text{ }}{\text{, }}{A_n}}$ είναι δύο από τις κορυφές του τριγώνου, τότε από την κατασκευή των σημείων $\displaystyle{{\Sigma _i}}$ , το τρίγωνο (τετριμμένα) θα περιέχει κάποιο σημείο $\displaystyle{{\Sigma _i}}$

Άρα $\displaystyle{N = n - 2}$ .

Σημεία στο εσωτερικό πολυγώνου (από το QUANTUM)

Σημεία στο εσωτερικό πολυγώνου (από το QUANTUM)

Re: Σημεία στο εσωτερικό πολυγώνου (από το QUANTUM)

Μέλη σε σύνδεση