Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10074
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Παρ Απρ 01, 2011 12:44 pm

Να λυθούν (ει δυνατόν αυτόνομα) τα εξής 2 προβλήματα :

1) Σε κύκλο ακτίνας R είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ABC , και S είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου .

Δείξτε ότι : SA+SB+SC\geq 3R.

2) Για τους μιγαδικούς w,u,v ισχύουν : |w|=|u|=|v|=R και w+u+v=0

Δείξτε ότι για οποιονδήποτε μιγαδικό z είναι : |z-w|+|z-u|+|z-v|\geq 3R
Συνημμένα
2 Ισοδύναμα  προβλήματα .png
2 Ισοδύναμα προβλήματα .png (13.34 KiB) Προβλήθηκε 2887 φορές


Άβαταρ μέλους
S.E.Louridas
Δημοσιεύσεις: 5261
Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
Τοποθεσία: Aegaleo.
Επικοινωνία:

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από S.E.Louridas » Παρ Απρ 01, 2011 2:38 pm

Πάντως το πρώτο είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος:
Το άθροισμα των αποστάσεων τυχόντος σημείου από τις κορυφές τριγώνου γίνεται ελάχιστο, οταν αυτό συμπέσει με το σημείο Steiner του τριγώνου δηλαδη όταν βρεθεί στην θέση να βλέπει και τις τρείς πλευρές του τριγώνου με γωνία 120-μοιρών.

S.E.Louridas


S.E.Louridas

1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6109
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Παρ Απρ 01, 2011 3:59 pm

Το 1ο διαφορετικά:

Γνωρίζουμε, ότι αν \displaystyle{S} σημείο του επιπέδου και \displaystyle{ABC} τρίγωνο εμβαδού \displaystyle{E,} τότε ισχύει

\displaystyle{aSA+bSB+cSC\geq 4E.}

Εν προκειμένω, είναι \displaystyle{a=b=c=\sqrt{3}R} και \displaystyle{E=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},}

οπότε προκύπτει η ζητούμενη.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
KARKAR
Δημοσιεύσεις: 10074
Εγγραφή: Τετ Δεκ 08, 2010 6:18 pm

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KARKAR » Τρί Απρ 05, 2011 8:26 pm

Αναρτώ λύση - απόδειξη (με 2 θεωρήματα) του πρώτου προβλήματος .

Στο ισόπλευρο προφανώς είναι SA+SB+SC=3R , όταν το S είναι το σημείο Steiner του τριγώνου.

Στις γωνίες απουσιάζει το σύμβολο της μοίρας . (Για γωνίες > 120^{o} η απόδειξη διαφέρει λίγο , αλλά εδώ δεν μας απασχολεί )

Το 2ο πρόβλημα , είναι (σχεδόν) προφανής εφαρμογή των συμπερασμάτων του πρώτου .

Αναμένεται ανεξάρτητη απόδειξη ...
Συνημμένα
Σημείο  Steiner.png
Σημείο Steiner.png (46.67 KiB) Προβλήθηκε 2700 φορές
Σημείο  Steiner - Torricelli - Fermat .png
Σημείο Steiner - Torricelli - Fermat .png (55.64 KiB) Προβλήθηκε 2700 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης