Σελίδα 1 από 1

Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 01, 2011 12:44 pm
από KARKAR
Να λυθούν (ει δυνατόν αυτόνομα) τα εξής 2 προβλήματα :

1) Σε κύκλο ακτίνας R είναι εγγεγραμμένο ισόπλευρο τρίγωνο ABC , και S είναι τυχαίο σημείο του επιπέδου .

Δείξτε ότι : SA+SB+SC\geq 3R.

2) Για τους μιγαδικούς w,u,v ισχύουν : |w|=|u|=|v|=R και w+u+v=0

Δείξτε ότι για οποιονδήποτε μιγαδικό z είναι : |z-w|+|z-u|+|z-v|\geq 3R

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 01, 2011 2:38 pm
από S.E.Louridas
Πάντως το πρώτο είναι άμεση εφαρμογή του θεωρήματος:
Το άθροισμα των αποστάσεων τυχόντος σημείου από τις κορυφές τριγώνου γίνεται ελάχιστο, οταν αυτό συμπέσει με το σημείο Steiner του τριγώνου δηλαδη όταν βρεθεί στην θέση να βλέπει και τις τρείς πλευρές του τριγώνου με γωνία 120-μοιρών.

S.E.Louridas

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Δημοσιεύτηκε: Παρ Απρ 01, 2011 3:59 pm
από matha
Το 1ο διαφορετικά:

Γνωρίζουμε, ότι αν \displaystyle{S} σημείο του επιπέδου και \displaystyle{ABC} τρίγωνο εμβαδού \displaystyle{E,} τότε ισχύει

\displaystyle{aSA+bSB+cSC\geq 4E.}

Εν προκειμένω, είναι \displaystyle{a=b=c=\sqrt{3}R} και \displaystyle{E=\frac{a^2\sqrt{3}}{4},}

οπότε προκύπτει η ζητούμενη.

Re: Αλγεβρα - Γεωμετρία ... σημειώσατε Χ

Δημοσιεύτηκε: Τρί Απρ 05, 2011 8:26 pm
από KARKAR
Αναρτώ λύση - απόδειξη (με 2 θεωρήματα) του πρώτου προβλήματος .

Στο ισόπλευρο προφανώς είναι SA+SB+SC=3R , όταν το S είναι το σημείο Steiner του τριγώνου.

Στις γωνίες απουσιάζει το σύμβολο της μοίρας . (Για γωνίες > 120^{o} η απόδειξη διαφέρει λίγο , αλλά εδώ δεν μας απασχολεί )

Το 2ο πρόβλημα , είναι (σχεδόν) προφανής εφαρμογή των συμπερασμάτων του πρώτου .

Αναμένεται ανεξάρτητη απόδειξη ...