Ας βοηθήσουμε τον τυρέμπορα

KARKAR · #1

Έχω την εντύπωση ότι σε (πολύ) παλιότερα βιβλία Μαθηματικών Δημοτικού (!) , υπήρχε και ένας τύπος για τον όγκο βαρελιού (μη κυλινδρικού)

Συνδυάζοντας λοιπόν , διάφορες γνώσεις , ας απαντηθούν τα παρακάτω ( δεν μπορούσα να αποφασίσω τον φάκελο) :

1) Βλέποντας "επίπεδα" , ποιές είναι οι εξισώσεις των

καμπυλών του σχήματος ;

2) Βλέποντας "στερεά" , α) Υπολογίστε τους όγκους της "μπάλας ράγκμπυ" και της "βαρέλας".

Μπορείτε να διατυπώσετε τύπο που να να δίνει τον όγκο ενός (συμμετρικού) τυροβαρελιού ;

Nick Rapanos · #2

Πολύ καλά κάνατε και ανεβάσατε αυτή την άσκηση. Πιστεύω πως ο κλάσικος τρόπος αντιμετώπισης είναι με το λεγόμενο όγκο εκ περιστροφής. Θα μου ήταν πολύ ενδιαφέρον να δω και κάποια πιο στοιχειώδη αντιμετώπιση. Έχω την εντύπωση όμως πώς είναι λίγο υπερβολικό να υπήρχαν αυτοί οι τύποι σε βιβλία δημοτικού. Όντως αληθεύει αυτό ?

KARKAR · #3

1) Το πάνω κόκκινο τόξο , είναι τμήμα παραβολής με τύπο $f(x)=4-ax^{2}$ , και επειδή διέρχεται από το σημείο (8 ,0)

,

ανήκει στην παραβολή : $\displaystyle f(x)=4-\frac{x^{2}}{16}$ .

Η δεξιά έλλειψη έχει ημιάξονες b=1 , a=3

, συνεπώς η εξίσωσή της είναι : $\displaystyle \frac{(x-4)^{2}}{1}+\frac{y^{2}}{9}=1$

2) Ο όγκος στερεού εκ περιστροφής της καμπύλης f(x)

, δίνεται από τον τύπο $\displaystyle V=\pi \int_{a}^{b}{f^{2}(x)dx}$ .

Συνεπώς : $\displaystyle V_{rug}=2\pi\int_{0}^{8}{f^{2}(x)dx}=\frac{2048\pi}{15}$ , $\displaystyle V_{\beta \alpha \rho }=2\pi\int_{0}^{4}{f^{2}(x)dx}=\frac{1624\pi}{15}$ .

Ο τύπος που δίνει τον όγκο του βαρελιού είναι : $\displaystyle V_{\beta \alpha \rho }=\frac{\pi {\cdot} \upsilon }{15} \left( \frac{3}{4}d^{2}+d{\cdot}D+2D^{2}\right)$ ,

όπου $\upsilon$ το ύψος ,

η διάμετρος των βάσεων , και

η μεσαία διάμετρος .

Ο τύπος αυτός , πράγματι , δίνει το ίδιο αποτέλεσμα ! (Δεν ασχολήθηκα με απόδειξη του τύπου)

Ας βοηθήσουμε τον τυρέμπορα

Ας βοηθήσουμε τον τυρέμπορα

Re: Ας βοηθήσουμε τον τυρέμπορα

Re: Ας βοηθήσουμε τον τυρέμπορα

Μέλη σε σύνδεση