IMO 2010

[Nick1990]

Ανοιξα το τοπικ για να βαλουμε τα θεματα και να προτεινουμε λυσεις.
Καλη επιτυχια σε ολα τα παιδια της Ελληνικης ομαδας

[Eagle]

Καλή επιτυχεία και από εμένα.Παιδιά να σαρώσετε.

[dement]

Καλη επιτυχια και απο εμενα σε ολους.

Δημητρης Σκουτερης

[Ilias_Zad]

Σήμερα είναι η πρώτη μέρα. Αύριο η δεύτερη. Περιμένουμε τα θέματα!
Καλή επιτυχία στην ελληνική αποστολή!!

[silouan]

Τα θέματα σήμερα ήταν Άλγεβρα( Συναρτησιακή εξίσωση ), Γεωμετρία, θεωρία αριθμών αλλά δε γνωρίζω περισσότερες λεπτομέρειες. Για το πως πήγαν τα παιδιά ας ξεκινήσουμε να το συζητάμε από αύριο.

[Μπάμπης Στεργίου]

Βρήκα και αυτή τη σελίδα, αλλά ακόμα δεν έχει τα θέματα.

http://www.imo2010org.kz/?lang=eng&id_rubric=29

Καλή επιτυχία στην ομάδα μας !!!

Μπάμπης

[Demetres]

Καλή επιτυχία και από εμένα.

[KapioPulsar]

Καλη επιτυχια στην ομαδα! και απο εμενα!!

[manos1992]

Καλή επιτυχία και από εμένα σε όλη την ομάδα!!
Αναμένουμε και να δουμε τα θέματα...

[chris]

Καλή επιτυχία και απο μένα.

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 1(1η Μέρα)

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις οι οποίες για κάθε ικανοποιούν την ισότητα:


όπου είναι ο μέγιστος ακέραιος,μικρότερος ή ίσος του

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 2(1η Μέρα)

Έστω τρίγωνο με το έγκεντρο και τον περιγεγραμμένο κύκλο του.Η τέμνει τον ξανά στο .Έστω ένα σημείο του τόξου και σημείο της τέτοιο ώστε .Αν μέσο του να αποδείξετε οτι οι και τέμνονται στον

ΠΡΟΒΛΗΜΑ 3(1η Μέρα)

Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις τέτοιες ώστε ο

να είναι τέλειο τετράγωνο για κάθε

[Μπάμπης Στεργίου]

Mmm ! Βλέπω το θέμα με το ακέραιο μέρος και σκέφτομαι ότι στη χώρα μας εδώ και 20 σχεδόν χρόνια οι μαθητές μας δεν γνωρίζουν ούτε καν την έννοια.
Αυτή την άστοχη έκπτωση των εννοιών αλλά και την αφαίρεση πολλών άλλων ενοτήτων στα μαθηματικά την πληρώνουν δυστυχώς οι μαθητές μας που θέλουν να πάνε λίγο παραπάνω.

Αν σκεφτείτε μάλιστα ότι οι ''σοφοί'' αποφάσισαν και άλλη μείωση της ύλης, είναι να λυπόμαστε για την πορεία μας ως μαθηματική κοινότητα. Αλλά αυτά τα κουβεντιάζουμε και αλλού , οπότε σταματάω εδώ.

Καλή συνέχεια στους μαθητές της ομάδας μας και στην αυριανή μέρα !

Μπάμπης

[Ilias_Zad]

Καλό το IMO 1 φέτος.Τα άλλα θα τα δω αργότερα αν και το 3 μου αρέσει ιδιαίτερα!
Σαν μια πρώτη λύση, θέτουμε και έχουμε
-- είτε , που μας δίνει την λύση,
-- είτε , που σε συνδιασμό με την , μας δίνει
-- είτε
-- είτε και αρα αλλα και . Όμως η δεξιά μας δίνει οτι αν στο τοτε οπότε το αριστερό μέλος για οποιοδήποτε δίνει άτοπο.
Oπότε λύσεις η μηδενική και η σταθερή c με c στο (Επαλήθευση)

[silouan]

Για τη γεωμετρία δείτε τη λύση που έβαλα εδώ. Θαρρώ πως είναι αρκετά σύντομη ! (Ωραίο πρόβλημα πάντως)
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8#p1935998

[Eagle]

Σιλουανέ μήπως ξέρεις πως τα πήγε ο αδελφός σου και τα άλλα παιδιά??

[silouan]

Το ανέφερα και παραπάνω. Ας μην προβούμε σε δηλώσεις. Υπομονή για την αυριανή μέρα και τα επίσημα αποτελέσματα.

[Nick1990]

Κανω την αρχη με την Γεωμετρια:

Αρκει <GMI = <IEA. Ειναι γνωστο οτι το μεσο D του τοξου BC ειναι το κεντρο του περιγεγραμμενου κυκλου U του τριγωνου BIC. Εστω Τ το αντιδιαμετρικο του Ι ως προς τον κυκλο U, αυτο ειναι η τομη της ευθειας AD και του κυκλου U, τοτε FT//MG και <FTI = <GMI, οποτε αρκει <FTI = <IEA, η αρκει τα τριγωνα AFT και AIE να ειναι ομοια, η ισοδυναμα αρκει AI/AE = AF/AT <=> AI*AT = AE*AF (1). Απο τα ομοια τριγωνα ABF and AEC λαμβανουμε AE/AC = AB/AF <=> AE*AF = AB*AC. Ετσι αρκει AI*AT = AB*AC <=> AI/AB = AC/AT, το οποιο ισχυει επηδη τα ABI, ATC ειναι ομοια (<BAI = <TAC = A/2, <ABI = <ABC/2 = <ADC/2 = <ATC)!

Με τα αλλα 2 θα ασχοληθω αυριο διοτι ειναι αργα.

[Stefanos87]

Η λυση μου στο 2ο συμπιπτει με του Σιλουανου που συμπιπτει με του Νικου. Στο mathlinks υπαρχει μια εναλλακτικη και πολυ ενδιαφερουσα λυση.

[Ανδρέας Πούλος]

Μπορεί κάποιος να με πληροφορήσει, αν μαθητής Α Λυκείου της Ελληνικής ομάδας έχει πάρει μετάλλιο σε Ολυμπιάδα;
Δεν έχω πρόχειρο κάποιο αρχείο ή βάση δεδομένων.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

[achilleas]

Μπορεί κάποιος να με πληροφορήσει, αν μαθητής Α Λυκείου της Ελληνικής ομάδας έχει πάρει μετάλλιο σε Ολυμπιάδα;
Δεν έχω πρόχειρο κάποιο αρχείο ή βάση δεδομένων.
Φιλικά,
Ανδρέας Πούλος

Ναι, πολλές φορές μαθητές Α' λυκείου έχουν πάρει μετάλλιο. Μου έρχονται στο μυαλό κάποια ονόματα, π.χ. από την ομάδα του 1996, όπως ο Μπρέγιαννης κι ο Μαλικιώσης, αλλά είμαι σίγουρος πως μου διαφεύγουν κι άλλοι.

Δείτε

http://www.imo-official.org/country_ind ... x?code=HEL

Φιλικά,

Αχιλλέας

[Dimitris X]

problem 4
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=356195

problem 5
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=356196

problem 6
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=356197