Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

Συντονιστές: vittasko, achilleas, emouroukos

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Σεπ 30, 2010 10:47 am

Έστω τρίγωνο \displaystyle{ABC} με διαμέσους \displaystyle{m_{a},m_{b},m_{c}} και \displaystyle{r} η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου. Αποδείξτε ότι

\displaystyle{m_{a}+m_{b}+m_{c}\geq 6r\left(\frac{m_{a}}{m_{b}+m_{c}}+\frac{m_{b}}{m_{c}+m_{a}}+\frac{m_{c}}{m_{a}+m_{b}} \right).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Δεκ 23, 2010 2:17 pm

Είναι καιρό αναπάντητη.

Το πρόβλημα αυτό είναι το L160 από το ρουμάνικο περιοδικό RECREAŢII MATEMATICE. Στο προτελευταίο τεύχος του περιοδικού, παρουσιάστηκε μία λύση, η οποία βασίζεται στην παρακάτω ανισότητα που είχε τεθεί σε TST του Vietnam το 2006.

\displaystyle{\bullet} Αν \displaystyle{a,b,c} μήκη πλευρών τριγώνου, ισχύει

\displaystyle{(a+b+c)\Big(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\Big)\geq 6\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big).}

Απόδειξη αυτής, με χρήση της μεθόδου SOS, μπορεί να δει κανείς στο βιβλίο του Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, σελίδα 442.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Παραθέτω μία διαφορετική λύση:

Με χρήση του μετασχηματισμού της διαμέσου, είναι αρκετό να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{m_{a}+m_{b}+m_{c}\geq 6r\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)}

Είναι γνωστό ότι ισχύει \displaystyle{m_{a}+m_{b}+m_{c}\geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2R},} οπότε αρκεί να αποδείξουμε ότι

\displaystyle{a^2+b^2+c^2\geq 12Rr\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)}

ή, πολλαπλασιάζοντας τα μέλη αυτής με \displaystyle{a+b+c=2s}

ότι

\displaystyle{(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 6abc\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)}. (1)

Μάλιστα, θα αποδείξουμε ότι η (1) ισχύει για τυχόντες \displaystyle{a,b,c>0.}

Πράγματι, με εφαρμογή της προφανούς ανισότητας \displaystyle{\frac{xy}{x+y}\leq \frac{x+y}{4}}, έχουμε

\displaystyle{6abc\Big(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\Big)=6\Big[a^2\frac{bc}{b+c}+b^2\frac{ca}{c+a}+c^2\frac{ab}{a+b}\Big]\leq 6\Big(a^2\frac{b+c}{4}+b^2\frac{c+a}{4}+c^2\frac{a+b}{4}\Big)=\frac{3}{2}[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)].}

Αρκεί τώρα, να ισχύει

\displaystyle{2(a+b+c)(a^2+b^2+c^2)\geq 3[a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)]}

ή αλλιώς ότι

\displaystyle{2(a^3+b^3+c^3)\geq a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b).}

Αυτή όμως, προκύπτει π.χ.από την ανισότητα της αναδιάταξης ως εξής:

\displaystyle{2(a^3+b^3+c^3)=(a^3+b^3+c^3)+(a^3+b^3+c^3)\geq (a^2b+b^2c+c^2a)+(ab^2+bc^2+ca^2)=a^2(b+c)+b^2(c+a)+c^2(a+b)}.


Μάγκος Θάνος
Case
Δημοσιεύσεις: 2
Εγγραφή: Σάβ Μάιος 14, 2011 10:49 pm

Re: Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Case » Σάβ Μάιος 14, 2011 10:51 pm

Συγγνώμη, ποιος είναι ο μετασχηματισμός της διαμέσου;


Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6112
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Aνισότητα με διαμέσους τριγώνου.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Μάιος 19, 2011 12:26 pm

Case έγραψε:Συγγνώμη, ποιος είναι ο μετασχηματισμός της διαμέσου;
Ρίξε μια ματιά εδώ και εδώ.


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Θέματα για Λύκειο - Seniors”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης