Ανισότητα σε τρίγωνο!

#1

Έστω τρίγωνο ABC

. Αποδείξτε ότι

$\displaystyle{\frac{\sqrt{1+8\cos ^{2}A}}{\sin X}+\frac{\sqrt{1+8\cos ^{2}B}}{\sin Y}+\frac{\sqrt{1+8\cos ^{2}C}}{\sin Z}\geq 6,}$

όπου $\displaystyle{(\sin X , \sin Y, \sin Z)}$ μία μετάθεση των $\displaystyle{(\sin A , \sin B ,\sin C).}$

kwstas12345 · #2

Ψαχουλευοντας παλι τα αναπαντητα θεματα...

Eφαρμόζωντας την ανισότητα AM-GM θα πάρω:

$\displaystyle \frac{\sqrt{1+8\cos^{2}A}}{\sin X}+\frac{\sqrt{1+8\cos^{2}B}}{\sin Y}+\frac{\sqrt{1+8\cos^{2}C}}{\sin Z}\geq 3\sqrt[3]{\left[\prod{\left(\sqrt{1+8\cos^{2}A} \right)} \right]\left[\prod{\left(\sin A \right)} \right]^{-1}}$

Αρκεί να αποδείξουμε:

$\displaystyle {3\sqrt[3]{\left[\prod{\left(\sqrt{1+8\cos^{2}A} \right)} \right]\left[\prod{\left(\sin A \right)} \right]^{-1}} \geq 6\Leftrightarrow \prod{\left(1+8\cos^{2}A \right)} \right]\left[\prod{\left(\sin A \right)} \right]^{-2}\geq 2^{6}\Leftrightarrow \prod{\left(1+8\cos^{2}A \right)}\geq 64\prod{\sin A}\Leftrightarrow 1+8\sum{\cos^{2}A}+64\sum{\cos^{2}A \cos^{2}B}+512\prod{\cos^{2}A}\geq 64\prod{\left(1-\cos^{2}A \right)}\Leftrightarrow 1+8\sum{\cos^{2}A}+64\sum{\cos^{2}A \cos^{2}B}+512\prod{\cos^{2}A}\geq 64-64\sum{\cos^{2}A}+64\sum{\cos^{2}A\cos^{2}B}-64\prod{\cos^{2}A}\Leftrightarrow 8\sum{\cos^{2}A}+64\prod{\cos^{2}A}\geq 7}$ (1)

Όμως σε κάθε τρίγωνο ισχύει ότι: $\displaystyle {\cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C+2\cos A\cos B\cos C=1}$

Επομένως:

$\displaystyle {8\sum{\cos^{2}A}+64\prod{\cos^{2}A}-7=8\left(1-2\prod{\cos^{2}A} \right)+64\prod{\cos^{2}A }-7=\left(8\prod{\cos A} \right)^{2}-16\prod{\left(\cos A \right)}+1=\left(8\prod{\cos A}-1 \right)^{2}\geq 0}$

Άρα θα ισχύει και η (1). H ισότητα στην ανισοτητα μας ισχύει αν και μόνο αν $\displaystyle {\prod{\cos A}=\frac{1}{8}\Leftrightarrow A=B=C=60^{0}}$

αφού σε κάθε τρίγωνο ισχύει $\displaystyle {\prod{\cos A}\leq \frac{1}{8}}$ με την ισότητα να ισχύει όταν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο.

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Ανισότητα σε τρίγωνο!

Re: Ανισότητα σε τρίγωνο!

Μέλη σε σύνδεση