Η εικόνα του μιγαδικού W

orestisgotsis · #1

ΠΕΡΙΤΤΑ

mathxl · #2

#3

orestisgotsis έγραψε:Αν οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{{{z}_{1}},\,\,{{z}_{2}},\,\,{{z}_{3}}}$ ανήκουν στον κύκλο $\displaystyle{\left| \,z\, \right|=\rho ,\,\,\,\rho >0}$ , τότε συμβαίνει το ίδιο και για τον μιγαδικό $\displaystyle{W=\frac{{{z}_{1}}{{z}_{2}}+{{z}_{2}}{{z}_{3}}+{{z}_{3}}{{z}_{1}}}{{{z}_{1}}+{{z}_{2}}+{{z}_{3}}}}$

Είναι

$\displaystyle{|z_1|=\rho \implies \overline{z_1}=\frac{\rho ^2}{z_1}}$ και ομοίως για τους $\displaystyle{\overline{z_2},\overline{z_3}}$ .

Είναι

$\displaystyle{|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1|=|\overline{z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1}|=|\overline{z_1}\overline{z_2}+\overline{z_2}\overline{z_3}+\overline{z_3}\overline{z_1}|=\Big|\frac{\rho ^4}{z_1z_2}+\frac{\rho ^4}{z_2z_3}+\frac{\rho ^4}{z_3z_1}\Big|=\rho ^4\frac{|z_1+z_2+z_3|}{|z_1||z_2||z_3|}=\rho |z_1+z_2+z_3|}$

και το ζητούμενο έπεται.

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

dennys · #5

Ξεκινάμε απο $\bar w=\cfrac{\bar {z_1z_2}+\bar {z_1z_3}+\bar {z_2z_3}}{\bar {z_1}+\bar{z_2}+\bar {z_3)}}\Rightarrow \bar w=\cfrac{(\rho)^4[(1/z_1z_2+1/z_2z_3+1/z_1z_3)]}{(\rho)^2[1/z_1+1/z_2+1/z_3]}$ ,

και τελικά $\bar w=\cfrac{(\rho)^2}{w}\Rightarrow \bar ww=(\rho)^2\Rightarrow |w|^2=(\rho)^2\Rightarrow |w|=\rho$

Aυτή την έλυσα με αυτό τον τρόπο γιτί σε κάποιες ασκήσεις βοηθάει παρα πολύ, π.χ. αν ο

κινείται στο κύκλο x^2+y^2=1

το ιδιο συμβαίνει και με τον $u=\cfrac{z-\bar w}{1-zw}$ οπου |w|=1

ή ακόμη για |z|=1

να δειχθεί οτι στον ιδιο κύκλο κινείται και ο $w=\cfrac{1-iz+z^2}{1+iz+z^2}$

Η εικόνα του μιγαδικού W

Η εικόνα του μιγαδικού W

Re: Η εικόνα του μιγαδικού W

Re: Η εικόνα του μιγαδικού W

Re: Η εικόνα του μιγαδικού W

Re: Η εικόνα του μιγαδικού W

Μέλη σε σύνδεση