Μιγάδες 5_Δ13

vasilis.volos.13 · #1

Δίνεται μιγαδικός αριθμός

για τον οποίο ισχύει $\;\;11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$

α) $\:\:\left|z \right|=1$

β) $\:\: \displaystyle\left(\frac{2z-zi-2i+1}{1+zi} \right)^{2}\leq 0$

γ) $\:\: \displaystyle Re\left(z \right)=\frac{\left|z+1 \right|^2-2}{2}$

δ) $\:\: \left|z^{2}-3z+1 \right|=5-\left|z+1 \right|^2$

#2

vasilis.volos.13 έγραψε:Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει $\;\;11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$

α) $\:\:\left|z \right|=1$

Ο μιγαδικός ικανοποιεί και την

$\displaystyle{z^9=\frac{11-10zi}{11z+10i}}$

άρα και την

$\displaystyle{|z|^9=\frac{|11-10iz|}{|11z+10i|}.}$

Θέτοντας $\displaystyle{z=x+yi,~ x,y \in \mathbb{R}}$

βρίσκουμε

$\displaystyle{(x^2+y^2)^9=\frac{121+220y+100y^2+100x^2}{121x^2+121y^2+220y+100}.}$

Αν υποθέσουμε ότι $\displaystyle{x^2+y^2>1}$ καταλήγουμε από την παραπάνω σχέση ότι $\displaystyle{x^2+y^2<1,}$ άτοπο.
Ομοίως αν $\displaystyle{x^2+y^2<1.}$

Άρα $\displaystyle{x^2+y^2=1.}$

Το παραπάνω πρόβλημα είναι παλιό θέμα του Putnam.

#3

vasilis.volos.13 έγραψε:Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει $\;\;11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$

α) $\:\:\left|z \right|=1$

β) $\:\: \displaystyle\left(\frac{2z-zi-2i+1}{1+zi} \right)^{2}\leq 0$

Είναι $\displaystyle{\bar{z}=\frac{1}{z}}$ άρα ο συζυγής του μιγαδικού

$\displaystyle{\frac{2z-zi-2i+1}{1+zi}}$

είναι ο

$\displaystyle{\frac{\frac{2}{z}+\frac{i}{z}+2i+1}{1-\frac{i}{z}}=\frac{2+i+2iz+z}{z-i}}$

ο οποίος, αν πολλαπλασιαστεί "πάνω κάτω" με $\displaystyle{i}$ βλέπουμε ότι ισούται με

$\displaystyle{-\frac{2z-zi-2i+1}{1+zi}.}$

Άρα ο εν λόγω μιγαδικός είναι φανταστικός και επομένως το τετράγωνό του είναι μη θετικό.

#4

vasilis.volos.13 έγραψε:Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει $\;\;11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$

α) $\:\:\left|z \right|=1$

β) $\:\: \displaystyle\left(\frac{2z-zi-2i+1}{1+zi} \right)^{2}\leq 0$

γ) $\:\: \displaystyle Re\left(z \right)=\frac{\left|z+1 \right|^2-2}{2}$

[/color]

Το γ)

Είναι

$\displaystyle{\frac{|z+1|^2-2}{2}=\frac{(z+1)(\bar{z}+1)-2}{2}=\frac{|z|^2+z+\bar{z}+1-2}{2}=\frac{z+\bar{z}}{2}=Re(z).}$

#5

vasilis.volos.13 έγραψε:Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει $\;\;11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$

α) $\:\:\left|z \right|=1$

δ) $\:\: \left|z^{2}-3z+1 \right|=5-\left|z+1 \right|^2$

Είναι, όπως είδαμε και παραπάνω

$\displaystyle{|z+1|^2=z+\bar{z}+2}$ (1)

Επίσης είναι

$\displaystyle{|z^2-3z+1|^2=(z^2-3z+1)(\bar{z}^2-3\bar{z}+1)=(z^2-3z+1)\Big(\frac{1}{z^2}-\frac{3}{z}+1\Big)=\frac{(z^2-3z+1)^2}{z^2}=\Big(z+\frac{1}{z}-3\Big)^2=(z+\bar{z}-3)^2}$ .

Άρα

$\displaystyle{|z^2-3z+1|=|z+\bar{z}-3|,}$

όπου στο δεξί μέλος εμφανίζεται απόλυτη τιμή, αφού ο $\displaystyle{z+\bar{z}}$ είναι πραγματικός.

Μάλιστα, είναι $\displaystyle{z+\bar{z}<3,}$

αφού

$\displaystyle{z+\bar{z}=2Re(z)\leq 2|z|=2}$ .

Άρα,

$\displaystyle{|z^2-3z+1|=3-z-\bar{z}.}$ (2).

Από τις (1),(2) προκύπτει το ζητούμενο.

vasilis.volos.13 · #6

matha έγραψε:
vasilis.volos.13 έγραψε:Δίνεται μιγαδικός αριθμός για τον οποίο ισχύει $\;\;11z^{10}+10iz^{9}+10iz-11=0$

α) $\:\:\left|z \right|=1$

Ο μιγαδικός ικανοποιεί και την

$\displaystyle{z^9=\frac{11-10zi}{11z+10i}}$

Κύριε Θάνο αν θέλετε μπορείτε να γίνετε λίγο πιο αναλυτικός σε αυτό το σημείο ??

mathxl · #7

Κάνε χιαστί και σύγκρινε με την εκφώνηση. Δεν είδα τον Θάνο online.

vasilis.volos.13 · #8

Στις ασκήσεις αυτές που ανέβασα τα ερωτήματα που έχουν κόκκινο χρώμα γραμματοσειράς είναι αυτά τα οποία δεν έλυσα και έμεσα τα κρίνω λίγο δύσκολα.Ηταν οι τελευταίες ασκήσεις μιγαδικών της επανάληψης μου πριν τις πανελλήνιες και ο καθηγητής μου δεν επέμεινε και πολύ οπότε θα ήθελα να δω αναλυτικές λύσεις

vasilis.volos.13 · #9

mathxl έγραψε:Κάνε χιαστί και σύγκρινε με την εκφώνηση. Δεν είδα τον Θάνο online.

ΟΚ ευχαριστώ πολύ

mathxl · #10

Κατόπιν εορτής...αυτή είναι η άσκηση από την οποία πήρα την ιδέα να λύσω το β3 με άτοπο...βρίσκεται νομίζω στο βιβλίο επανάληψη του Βασίλη Παπαδάκη και είναι η τελευταία στους μιγαδικούς. Από το ποστ του Θανάση (σε κάποιο λινκ που με παρέπεμψε εδώ) βλέπω ότι είναι από πουτναμ...1998 ή 1999.
Για το α)
Ας υποθέσουμε ότι $\left| z \right| > 1$ :
$\left| z \right| > 1 \Rightarrow \left| {{z^9}} \right| > 1 \Rightarrow \left| {\frac{{11 - 10zi}}{{11z + 10i}}} \right| > 1 \Rightarrow {\left| {11 - 10zi} \right|^2} > {\left| {11z + 10i} \right|^2} \Rightarrow ... \Rightarrow 21 > 21{\left| z \right|^2} \Rightarrow \left| z \right| < 1$
όμοια αν υποθέσουμε ότι $\left| z \right| < 1$ καταλήγουμε πάλι σε άτοπο. Άρα το μέτρο ισούται με 1.

mathxl · #11

Μπορεί κάποιος να πει με σιγουριά από πιο διαγωνισμό του πούτναμ είναι; Ο Θανάσης είχε βάλει κάπου ένα συνημμένο, αλλά δεν το βρίσκω...

parmenides51 · #12

The Fiftieth Annual William Lowell Putnam Competition, Saturday, December 2, 1989

εδώ

#13

mathxl έγραψε:Μπορεί κάποιος να πει με σιγουριά από πιο διαγωνισμό του πούτναμ είναι; Ο Θανάσης είχε βάλει κάπου ένα συνημμένο, αλλά δεν το βρίσκω...

Putnam 1989 A3.

mathxl · #14

ουπς έπεσα μια δεκαετία έξω...το βρήκα εδώ http://www.scribd.com/doc/42283494/Kira ... -1985-2000 τελευταία και πρετελευταία σελίδα.

Μιγάδες 5_Δ13

Μιγάδες 5_Δ13

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Re: Μιγάδες 5

Μέλη σε σύνδεση