Μιγαδικοί 81

mathxl · #1

Εάν $\left\| {\begin{array}{*{20}{c}} {{z_1},{z_2},{z_3} \in {C^ * }} \\ {} \\ {{z_1} + {z_2} + {z_3} = 0} \\ {} \\ {|{z_1}| = a\:,\:|{z_2}| = b\:,\:|{z_3}| = c} \\ {} \\ {{a^2} + {b^2} = {c^2}} \end{array}} \right\|$ να δείξετε ότι ${b^2}z_1^2 + {a^2}z_2^2 = 0$ .

PanosG · #2

$\displaystyle{z_1+z_2=-z_3\Rightarrow |z_1+z_2|^2=|z_3|^2\Rightarrow|z_1|^2+z_1 \bar z_2+\bar z_1 z_2+|z_2|^2=|z_3|^2 \Rightarrow }$
$\displaystyle{a^2+z_1 \bar z_2+\bar z_1 z_2+b^2=c^2\Rightarrow z_1 \bar z_2+\bar z_1 z_2=0 \quad \boxed {1}}$

Όμως είναι $\displaystyle{|z_1|^2=a^2\Leftrightarrow \bar z_1 =\frac{a^2}{z_1}}$ και όμοια $\displaystyle{\bar z_2 =\frac{b^2}{z_2}}$ αφού $z_1,z_2 \neq 0$

Αντικαθιστώντας στην $\boxed{1}$ έχουμε:

$\displaystyle{\frac{b^2 z_1}{z_2} +\frac{a^2 z_2}{z_1}=0\Leftrightarrow b^2z_1^2+a^2z_2^2=0}$

#3

Κάποιες σκέψεις, οι οποίες οδηγούν σε άλλη λύση.

Ας είναι $\displaystyle{A,B,C}$ οι εικόνες των $\displaystyle{z_1,z_2,z_3.}$

Η σχέση $\displaystyle{z_1+z_2+z_3=0}$ μας δηλώνει ότι η αρχή $\displaystyle{O}$ του μιγαδικού επιπέδου είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου $\displaystyle{ABC.}$

Τότε, είναι

$\displaystyle{|z_1|^2+|z_2|^2=|z_3|^2\implies GC^2=GA^2+GB^2\implies \cdots \boxed{5AB^2=BC^2+AC^2}}$

Όμως είναι

$\displaystyle{GB^2+GC^2-AB^2=...=BC^2+AC^2-5AB^2=0\implies \boxed{GB\perp GC}}$

Επομένως υπάρχει πραγματικός $\displaystyle{x,}$ για τον οποίο

$\displaystyle{z_2=ixz_1.}$

Παίρνοντας μέτρα βρίσκουμε αμέσως $\displaystyle{x=\pm \frac{b}{a},}$ οπότε προκύπτει η ζητούμενη.

mathxl · #4

Σούπερ!

Μιγαδικοί 81

Μιγαδικοί 81

Re: Μιγαδικοί 81

Re: Μιγαδικοί 81

Re: Μιγαδικοί 81

Μέλη σε σύνδεση