Ανισότητα στους μιγαδικούς

Tolaso J Kos · #1

Έστω $z\in \mathbb{C}^*$ με $\displaystyle{\frac{1}{z^2}-\frac{1}{\bar{z}^2}=8i}$ .
Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left | z \right |\leq \frac{1}{2}}$ .

Θεοδωρος Παγωνης · #2

Για $z\ne 0$ έχω $\frac{1}{{{z}^{2}}}-\frac{1}{{{{\bar{z}}}^{2}}}=8i\Leftrightarrow \frac{{{{\bar{z}}}^{2}}-{{z}^{2}}}{{{z}^{2}}\cdot {{{\bar{z}}}^{2}}}=8i\overset{z=x+yi}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,-4xy=8{{\left| z \right|}^{4}}\Leftrightarrow xy=-2{{\left| z \right|}^{4}}$ (1)
Για κάθε $x,y\in \mathbb{R}$ ισχύει ${{\left( x+y \right)}^{2}}\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+2xy\ge 0\Leftrightarrow {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge -2xy\overset{(1)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{2}}\ge 4{{\left| z \right|}^{4}}\Leftrightarrow$
${{\left| z \right|}^{2}}\left( 4{{\left| z \right|}^{2}}-1 \right)\le 0\overset{{{\left| z \right|}^{2}}>0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\Leftrightarrow 4{{\left| z \right|}^{2}}-1\le 0\Leftrightarrow \left| z \right|\le \frac{1}{2}$

#3

Tolaso J Kos έγραψε:Έστω $z\in \mathbb{C}^*$ με $\displaystyle{\frac{1}{z^2}-\frac{1}{\bar{z}^2}=8i}$ .
Να δείξετε ότι $\displaystyle{\left | z \right |\leq \frac{1}{2}}$ .

Ας είναι $\displaystyle{\left| z \right| > \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{1}{{\left| z \right|}} < 2}$ . Τότε και $\displaystyle{\frac{1}{{\left| {\overline z } \right|}} < 2}$ .

Έχω: $\displaystyle{8i = \frac{1}{{{z^2}}} - \frac{1}{{\overline {{z^2}} }} \Rightarrow \left| {8i} \right| = \left| {\frac{1}{{{z^2}}} - \frac{1}{{\overline {{z^2}} }}} \right| \le \left| {\frac{1}{{{z^2}}}} \right| + \left| {\frac{1}{{\overline {{z^2}} }}} \right| < 4 + 4 \Rightarrow 8 < 8.}$

Άτοπο.

Επομένως $\displaystyle{\left| z \right| \le \frac{1}{2}.}$

STOPJOHN · #4

Καλημέρα σε όλους
Με ευθεία απόδειξη

$8i=\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{\bar{z}^{2}}$

$\Rightarrow \left|8i \right|=\left|\frac{1}{z^{2}}-\frac{1}{\bar{z}^{2}} \right|\Rightarrow 8\leq \frac{1}{z^{2}}+\frac{1}{z^{2}}\Rightarrow 8\leq \frac{2}{\left|z \right|^{2}}\Leftrightarrow \left|z \right|\leq \frac{1}{2}$

Γιάννης

Tolaso J Kos · #5

Πολύ ωραία. Η λύση που έχω είναι ακριβώς ίδια με τη λύση του κ. Γιάννη.
Σας ευχαριστώ όλους.

maiksoul · #6

Ακόμα μια προσέγγιση!

Αν $\displaystyle{ w = \frac{1}{{z^2 }} = a + bi }$ η αρχική ισότητα γίνεται: $\displaystyle{ \,\,w - \overline w = 8i \Leftrightarrow b = 4\, }$ άρα

$\displaystyle{ w = a + 4i \Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {a^2 + 16} \ge 4 \Rightarrow$ $\displaystyle{ \,\,\,\,\frac{1}{{\left| w \right|}} \le \frac{1}{4} \Rightarrow \left| z \right|\,^2 \,\, \le \,\,\,\frac{1}{4} \Rightarrow \,\,\,\left| z \right|\,\, \le \,\,\frac{1}{2}\,\,\, }$

Ανισότητα στους μιγαδικούς

Ανισότητα στους μιγαδικούς

Re: Ανισότητα στους μιγαδικούς

Re: Ανισότητα στους μιγαδικούς

Re: Ανισότητα στους μιγαδικούς

Re: Ανισότητα στους μιγαδικούς

Re: Ανισότητα στους μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση