Μιγαδικό σύστημα

#1

Μία άσκηση (όχι για παιδιά).
Να λύσετε, με όποιον τρόπο επιθυμείτε, το σύστημα:

$\displaystyle{\begin{array}{l} {z^3} + {w^5} = 0\\ {z^2}\overline w^{4} = 1 \end{array}}$ με $z,w \in \mathbb{C}$

Υ.Γ: Έγινε μια διόρθωση στον εκθέτη του συζυγή

.

#2

chris_gatos έγραψε: $\displaystyle{\begin{array}{l} {z^3} + {w^5} = 0\\ {z^2}\overline w^{4} = 1 \end{array}}$ με $z,w \in \mathbb{C}$

Οι εξισώσεις δίνουν |z|^3=|w|^5

και

. Ειδικά $|w|\ne 0$ , οπότε $|z|^2=|w|^{-4}$ . Έπεται $|w|^{10}=|z|^{6}= |w|^{-12}$ , οπότε |w|=1

και άρα $\overline w = 1/w$ .

Οι εξισώσεις τώρα γίνονται z^3=-w^5

και

, άρα διαιρώντας z=-w

. Έπεται από την πρώτη εξίσωση ότι -w^3=-w^5

που σημαίνει w^3(1-w^2)=0

, οπότε (αφού $w\ne 0$ ) είναι $w=\pm 1$ .

Τελικά είτε (z,w) = (-w,w)= (-1,1)

ή

, που ικανοποιούν τις αρχικές.

Φιλικά,

Μιχάλης

maiksoul · #3

Είναι:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,\,z^3 = - w^{5\,\,} \,\,(1)\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,z^2 \overline w ^4 = 1\,\,\,\,(2)\,\,\, \\ \\ (1):(2) \Rightarrow z = - \left| w \right|^8 w\,\,\,\,(3)\,\, \\ \\ (3) \Rightarrow \left| z \right| = \left| w \right|^9 \,\,\,(4)\,\, \\ \end{array} }$

Έχουμε τώρα:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \\ \\ (2) \Rightarrow \left| z \right|^2 \left| w \right|^4 = 1 \Rightarrow \left| w \right|^{22} = 1 \Rightarrow \,\,\,\,\,\,\left| w \right| = 1\,\,\,\,\, \wedge \,\,\,\,\,\,\,(4) \Rightarrow \left| z \right| = 1\,\,\, \\ \end{array} }$

ακόμα :

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (3)\,\,\,\mathop \Rightarrow \limits^{\left| w \right| = 1} z = - w\,\,\,\,(5)\,\, \\ \\ (1)\mathop \Rightarrow \limits^{(5)} - w^3 = - w^5 \mathop \Rightarrow \limits^{w \ne 0} w^2 = 1 \Rightarrow w = 1\,\,\,\, \vee \,\,\,w = - 1\,\,\, \\ \end{array} }$
έχουμε τελικά:

$\displaystyle{ \begin{array}{l} \,\,w = 1 \Rightarrow z = - 1 \\ \,\,w = - 1 \Rightarrow z = 1 \\ \end{array} }$

που επαληθεύουν τις αρχικές εξισώσεις.

Με πρόλαβαν...

...την αφήνω για τον κόπο!

Μιγαδικό σύστημα

Μιγαδικό σύστημα

Re: Μιγαδικό σύστημα

Re: Μιγαδικό σύστημα

Μέλη σε σύνδεση