Αναλυτική γεωμετρία με μιγαδικούς

[M.S.Vovos]

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με γεωμετρικό τόπο στο μιγαδικό επίπεδο, ο οποίος είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα .

α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου.

β) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού .

γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο .

δ) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω ευθείες είναι κάθετες μεταξύ τους.

ε) Αν υπάρχει και ένας δεύτερος κύκλος , να βρείτε τις σχετικές θέσεις των δύο κύκλων.

στ) Να βρείτε την εξίσωση της χορδής του κύκλου που έχει μέσο το σημείο .

ζ) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των σημείων , απ' τα οποία οι εφαπτόμενες προς τον κύκλο είναι κάθετες.

η) Να βρείτε τον γεωμετρικό τόπο των μέσων των χορδών του κύκλου , που διέρχονται από το σημείο .

[Tolaso J Kos]

Δίνεται ο μιγαδικός αριθμός με γεωμετρικό τόπο στο μιγαδικό επίπεδο, ο οποίος είναι κύκλος με κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα .

α) Να βρείτε την εξίσωση του κύκλου.

β) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού .

γ) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτόμενων του κύκλου που διέρχονται από το σημείο .

δ) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω οικογένεια ευθειών είναι κάθετες μεταξύ τους.

ε) Αν υπάρχει και ένας δεύτερος κύκλος , να βρείτε τις σχετικές θέσεις των δύο κύκλων.

Τα πρώτα ερωτήματα προς το παρόν.


α.Η εξίσωση του κύκλου είναι .
β.Το μέτρο του μιγαδικού είναι .
γ.Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο έχει εξίσωση . Εφόσον διέρχεται από το σημείο τότε το σημείο την επαληθεύει και έχουμε . Όμως το εφόσον είναι σημείο επαφής , επαληθεύει και την εξίσωση του κύκλου. Λύνοντας το σύστημα παίρνουμε τις εξισώσεις των εφαπτομένων που είναι οι: .

δ.Δε γνωρίζω για ποια οικογενεία ευθειών μιλάμε εδώ, από τη στιγμή που έχουμε δύο διακεκριμένες ευθείες. Εκτός και αν ο θεματοδότης εννοεί ότι οι δύο ευθείες αυτές είναι κάθετες που πράγματι ισχύει αφού το γινόμενο των συντελεστών των ευθειών είναι ίσο με .

ε.Ο κύκλος έχει κέντρο και ακτίνα , ενώ ο κύκλος έχει κέντρο και ακτίνα . Έχουμε ότι και επίσης βλέπουμε ότι συνεπώς οι δύο κύκλοι τέμνονται σε ακριβώς δύο σημεία.