Κάτι από μιγαδικούς

Φανης Θεοφανιδης · #1

Υπό ποια συνθήκη η ευθεία που ορίζεται από τις ρίζες της εξίσωσης
$az^{2}+bz+c=0$ $(a,b,c, \epsilon C ,a\neq 0)$ διέρχεται
1)από την αρχή
2)από το σημείο

.

#2

1). Αν c=0

( με

μια ρίζα είναι 0), ή, αν D=b^2-4ac=0

(έχουμε εκφυλισμένη περίπτωση με z_1=z_2

), τότε ευθεία που ορίζεται από τις ρίζες z_1, z_2

διέρχεται από την αρχή O(0,0)

.

Έστω $c\neq 0$ και $D\neq 0$ . Eίναι $z_2\neq 0.$ Η ευθεία που ορίζουν οι z_1, z_2

διέρχεται από την αρχή

, αν και μόνο αν οι διανυσματικές ακτίνες τους είναι συγγραμμικές, δηλαδή αν και μόνο αν υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda$ , τέτοιος ώστε $z_1= \lambda z_2\,\,\,\,(1)$ . Από αυτή τη σχέση και τις $z_1+z_2=-\dfrac{b}{a}\,\,\,\,(2), \,\,\,\,\,\,z_1z_2=\dfrac{c}{a} \,\,\,\,\,(3)$ απαλείφουμε τα z_1, z_2:

Η (2) λόγω της (1) δίνει

$\lambda z_2+z_2=-\dfrac{b}{a}\Rightarrow z_2=-\dfrac{b}{(1+\lambda )a},\,\,\,\,\lambda \neq -1$ , οπότε $z_1=-\dfrac{\lambda b}{(1+\lambda )a},\,\,\,\,\lambda \neq -1$

Η (3)

, τώρα δίνει

$\dfrac{\lambda b^2}{(1+\lambda )^2a^2}=\dfrac{c}{a}\Rightarrow \lambda b^2=(1+\lambda )^2ac,\,\,\,\,\lambda \neq -1$

Αντιστρόφως, αν ισχύει $\lambda b^2=(1+\lambda )^2ac,\,\,\,\,\lambda \neq -1$ οι (2) , (3)

δίνουν (εύκολο) την (1)

και ισχύει το ζητούμενο.

Εξετάζουμε τώρα, τι συμβαίνει αν $\lambda = -1$ . Και οι δύο σχέσεις $\lambda b^2=(1+\lambda )^2ac$ και $z_1= \lambda z_2$ δίνουν b=0

. Η αρχική εξίσωση έχει ρίζες αντίθετες (αυτές είναι συμμετρικές ως προς το

,

δεν κείνται κατ΄ανάγκην στον άξονα των x

), οπότε η ευθεία που ορίζουν διέρχεται από το

.

Σύμφωνα με τα παραπάνω ικανή και αναγκαία συνθήκη είναι: c=0

, ή,

, ή, να υπάρχει πραγματικός $\lambda$ με $\lambda b^2=(1+\lambda )^2ac$

2). Η ευθεία που ορίζουν οι $z_1,\, z_2$ διέρχεται από την εικόνα του

, αν και μόνο αν η ευθεία που ορίζουν οι $z_1-i,\,\,z_2-i$ διέρχεται από την αρχή. Επομένως αναγόμαστε στην περίπτωση

για τις ρίζες Z_1=z_1-i, Z_2=z_2-i

της εξίσωσης Z^2-BZ+C=0

, όπου ορίσαμε

$B=(z_1-i)+(z_2-i)=-\dfrac{b}{a}-2i$ και

$C=(z_1-i)(z_2-i)=z_1z_2-i(z_1+z_2)-1=\dfrac{c}{a}+i\dfrac{b}{a}+1$

Σύμφωνα με το

, ως ικανή και αναγκαία συνθήκη έχουμε: C=0

, ή,

, ή, να υπάρχει πραγματικός $\lambda$ με $\lambda B^2=(1+\lambda )^2C$

... με επιφύλαξη για τυπογραφικά...

Κάτι από μιγαδικούς

Κάτι από μιγαδικούς

Re: Κάτι από μιγαδικούς

Μέλη σε σύνδεση