Απλός μιγαδικός !

maiksoul · #1

'Εστω ο μη μηδενικός μιγαδικός

για τον οποίο ισχύουν:

$\displaystyle{ \bullet \,\,\left| w \right|^2 (\,\,\overline {\,w\,} \, - w^{10} \,) = \overline {\,w\,} ^{12} - w^3 \,\,\,\,\,(1) }$

και

$\displaystyle{ \bullet \,\,\left| {\frac{{\,\overline {\,w\,} ^3 + \,\overline {\,w\,} ^{12} \, - 3\,\overline {\,w\,} }}{w}} \right| \le 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(2)\, }$

Να βρεθεί ο

Θεοδωρος Παγωνης · #2

H πρώτη σχέση γίνεται :

$w\bar{w}\left( \bar{w}-{{w}^{10}} \right)={{\bar{w}}^{12}}-{{w}^{3}}\Leftrightarrow w{{\bar{w}}^{2}}-\bar{w}{{w}^{11}}-{{\bar{w}}^{12}}+{{w}^{3}}=0\Leftrightarrow$

$w\left( {{{\bar{w}}}^{2}}+{{w}^{2}} \right)-\bar{w}\left( {{w}^{11}}+{{{\bar{w}}}^{11}} \right)=0$ (1)

Θέτω w=x+yi

, ${{w}^{2}}=a+bi$ και ${{w}^{11}}=k+mi$ , οπότε η σχέση (1) γράφεται :

$2a\left( x+yi \right)-2k\left( x+yi \right)=0\Leftrightarrow x\left( a+k \right)+iy\left( a-k \right)=0\Leftrightarrow$

$x=0\vee a-k=0$ και $y=0\vee a+k=0$ .

Διακρίνω περιπτώσεις :

Α. $x=0\wedge y=0$ , οπότε w=0

, άτοπο αφού $w\ne 0$

Β. $x=0\wedge a=-k$ , τότε $w=yi\Rightarrow {{w}^{2}}=-{{y}^{2}}$ και ${{w}^{11}}=-{{y}^{11}}i$

σε αυτή την περίπτωση η δεύτερη υπόθεση γίνεται

$\left| \frac{{{{\bar{w}}}^{3}}+{{{\bar{w}}}^{12}}-3\bar{w}}{w} \right|\le 2\Leftrightarrow \frac{\left| {{{\bar{w}}}^{3}}+{{{\bar{w}}}^{12}}-3\bar{w} \right|}{\left| {\bar{w}} \right|}\le 2\Leftrightarrow \left| \frac{{{{\bar{w}}}^{3}}+{{{\bar{w}}}^{12}}-3\bar{w}}{{\bar{w}}} \right|\le 2\Leftrightarrow$

$\left| {{{\bar{w}}}^{2}}+{{{\bar{w}}}^{11}}-3 \right|\le 2\Leftrightarrow \left| -{{y}^{2}}-{{y}^{11}}i-3 \right|\le 2\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( -{{y}^{2}}-3 \right)}^{2}}+{{y}^{22}}}\le 2\Leftrightarrow$

${{\left( -{{y}^{2}}-3 \right)}^{2}}+{{y}^{22}}\le 4$ , άτοπο.

Γ. $a-k=0\wedge y=0$ , τότε $w=x\Rightarrow {{w}^{2}}=x$ και ${{w}^{11}}={{x}^{11}}$ ,

Όμως $a-k=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}-{{x}^{11}}=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}\left( 1-{{x}^{9}} \right)=0\overset{x\ne 0}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,x=1$
σε αυτή την περίπτωση η δεύτερη υπόθεση γίνεται

$\left| \frac{{{{\bar{w}}}^{3}}+{{{\bar{w}}}^{12}}-3\bar{w}}{w} \right|\le 2\Leftrightarrow \displaystyle{\left| {{{\bar{w}}}^{2}}+{{{\bar{w}}}^{11}}-3 \right|\le 2\Leftrightarrow \left| 1+1-3 \right|\le 2\Leftrightarrow 1\le 2$ , που ισχύει

Άρα w=1

Δ. $a-k=0\wedge a+k=0\Leftrightarrow a=k=0$ , τότε w=x+yi

, ${{w}^{2}}=bi$ και ${{w}^{11}}=mi$ ,

σε αυτή την περίπτωση η δεύτερη υπόθεση γίνεται

$\left| \frac{{{{\bar{w}}}^{3}}+{{{\bar{w}}}^{12}}-3\bar{w}}{w} \right|\le 2\Leftrightarrow$ $\left| {{{\bar{w}}}^{2}}+{{{\bar{w}}}^{11}}-3 \right|\le 2\Leftrightarrow \left| bi+mi-3 \right|\le 2\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( b+m \right)}^{2}}+9}\le 2\Leftrightarrow$

${{\left( b+m \right)}^{2}}+9\le 4$ , άτοπο.

Άρα τελικά w=1

.

Andreas Panteris · #3

Αγαπητοί Συνάδελφοι Καλημέρα

Λίγο διαφορετικά

Από τη σχέση (1) αφού $\displaystyle{\omega \ne 0}$ ισοδύναμα έχουμε:

$\displaystyle{{{\left| \omega \right|}^{2}}\left( \bar{\omega }\omega -{{\omega }^{11}} \right)=(\omega \bar{\omega }){{\bar{\omega }}^{11}}-{{\omega }^{4}}\Leftrightarrow }$ \displaystyle{\displaystyle{{{\left| \omega \right|}^{2}}\left( {{{\bar{\omega }}}^{11}}+{{\omega }^{11}} \right)={{\omega }^{2}}{{\bar{\omega }}^{2}}+{{\omega }^{4}}\Leftrightarrow }} $\displaystyle{{{\left| \omega \right|}^{2}}\left( {{{\bar{\omega }}}^{11}}+{{\omega }^{11}} \right)={{\omega }^{2}}\left( {{{\bar{\omega }}}^{2}}+{{\omega }^{2}} \right)\Leftrightarrow }$

[unparseable or potentially dangerous latex formula], άρα $\displaystyle{{{\omega }^{2}}\in \mathbb{R}}$ .

Έστω $\displaystyle{\omega =x+yi}$ , τότε $\displaystyle{{{\omega }^{2}}={{x}^{2}}-{{y}^{2}}+2xyi}$ άρα $\displaystyle{x=0\text{ }\text{ }y=0}$ .

$\displaystyle{\bullet }$ Για $\displaystyle{x=0}$ θα είναι $\displaystyle{\omega =yi,\omega =-{{y}^{2}}}$ και $\displaystyle{\omega =-{{y}^{11}}i}$ οπότε όπως ο Θόδωρος καταλήγουμε σε άτοπο.

$\displaystyle{\bullet }$ Για $\displaystyle{y=0}$ θα είναι $\displaystyle{\omega =x\ne 0}$ οπότε η (1) γράφεται:
$\displaystyle{{{x}^{2}}(x-{{x}^{10}})={{x}^{12}}-{{x}^{3}}\Leftrightarrow 2{{x}^{12}}-2{{x}^{3}}=0\Leftrightarrow 2{{x}^{3}}\left( {{x}^{9}}-1 \right)=0\text{ }\overset{\left( x\ne 0 \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,\text{ }x=1}$ , άρα $\displaystyle{\omega =1}$ , τιμή η οποία επαληθεύει και την σχέση (2).

maiksoul · #4

Θόδωρα και Ανδρέα , πολύ ωραία ! Εξαιρετικές προσεγγίσεις που ταυτίζονται σχεδόν με την ιδέα κατασκευής της άσκησης !

(Ανδρέα ένα σημείο της λύσης σου δεν διακρίνεται , ενώ Θόδωρα πρέπει να έχεις κάνει κάποιο ασήμαντο τυπογραφικό λάθος (όχι ουσίας), λιγο πριν πάρεις περιπτώσεις )

Αν δεν γίνει άλλη προσπάθεια, θα δώσω και την δικιά μου λύση αργότερα .Ευχαριστώ θερμά για την ενασχόληση!

maiksoul · #5

Καλησπέρα !

Μετά τις πολύ ωραίες προσσεγγίσεις που προηγήθηκαν ,δίνω και την δικιά μου .

Η (1) δίνει:

$\displaystyle{ \overline {\,w\,\,} \,(\,\,w^{11} \,\, + \,\,\overline {\,w\,\,} ^{11} \,) = w\,\,(\,\,w^{\,2\,\,} + \,\,\overline {\,w\,\,} ^2 \,)\,\,\,\,\,\,(*)\,\, }$

αλλά και

$\displaystyle{ w\,(\,\,w^{11} \,\, + \,\,\overline {\,w\,\,} ^{11} \,)\,\, = \,\,\overline {\,w\,\,} \,\,(\,\,w^{\,2\,\,} + \,\,\overline {\,w\,\,} ^2 \,)\,\,\,(**)\, }$

οπότε και :

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (**)-(*) \Rightarrow \,\,(\,w\,\, - \,\,\overline {\,w\,\,} \,\,)\,\,\,(w^{\,2\,\,} + w^{11} + \,\overline {\,w\,\,} ^2 + \overline {\,w\,\,} ^{11} \,) = 0\,\, \Leftrightarrow \\ \\ w = \,\overline {\,w\,\,} \,\,\,\, \vee \,\,\,w^{\,2\,\,} + w^{11} = - (\overline {\,w\,\,} ^2 + \overline {\,w\,\,} ^{11} )\, \Leftrightarrow \\ \\ w \in \Re \,\,\, \vee \,\,\,w^{\,2\,\,} + w^{11} \in {\rm I} \\ \end{array} }$

$\displaystyle{ \, \bullet \, }$ Αν $\displaystyle{ w = x,\,\,\,\,\,x \in \Re \,\,\,\, }$ τότε

$\displaystyle{ \begin{array}{l} (1) \Leftrightarrow x^2 (x - x^{10} ) = x^{12} - x^3 \Leftrightarrow x^{12} = x^3 \mathop \Leftrightarrow \limits^{x \ne 0} x^9 = 1 \Leftrightarrow x = 1\,\, \\ \end{array} }$

η οποία επαληθεύει και την (2) ,άρα είναι δεκτή .

$\displaystyle{ \, \bullet \, }$ Αν $\displaystyle{ \,w^{\,2\,\,} + w^{11} = yi,\,\,\,\,\,y \in \Re \,\, }$ τότε

$\displaystyle{ (2) \Leftrightarrow \left| {\frac{{\overline {\,w\,\,} }}{w}( - yi - 3)} \right| \le 2 \Leftrightarrow y^{\,2\,} + 9 \le 4\,\,\, }$

το οποίο είναι άτοπο!

Τελικά $\displaystyle{ \,w = 1\,\, }$

Απλός μιγαδικός !

Απλός μιγαδικός !

Re: Απλός μιγαδικός !

Re: Απλός μιγαδικός !

Re: Απλός μιγαδικός !

Re: Απλός μιγαδικός !

Μέλη σε σύνδεση