Μιγαδικό σημείο τομής

Al.Koutsouridis · #1

Έστω ότι με l(P,u)

συμβολίζουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο

στη διέυθυνση που ορίζει το διάνυσμα (μιγαδικός)

. Να δείξετε ότι ο μιγαδικός που αντιστοιχεί στο σημείο τομής των ευθειών l(P,u)

και

δίνεται από την σχέση

$Z = \dfrac{ u(Q\bar{v}-\bar{Q}v)-v(P\bar{u} - \bar{P}u) }{u \bar{v}-\bar{u} v}$

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #2

Al.Koutsouridis έγραψε: Δευ Ιαν 15, 2018 11:15 am Έστω ότι με συμβολίζουμε την ευθεία που διέρχεται από το σημείο στη διέυθυνση που ορίζει το διάνυσμα (μιγαδικός) . Να δείξετε ότι ο μιγαδικός που αντιστοιχεί στο σημείο τομής των ευθειών και δίνεται από την σχέση

$Z = \dfrac{ u(Q\bar{v}-\bar{Q}v)-v(P\bar{u} - \bar{P}u) }{u \bar{v}-\bar{u} v}$

Για να τέμνονται οι ευθείες πρέπει τα u,v

να μην είναι παράλληλα.
Αυτό συμβαίνει αν και μόνο αν $\frac{u}{v}\notin \mathbb{R}\Leftrightarrow u\bar{v}-\bar{u}v\neq 0$

Οι εξισώσεις των ευθειών είναι

$P+tu,t\in \mathbb{R}$

και

$Q+sv,s\in \mathbb{R}$

Εστω

το σημείο τομής.

Υπάρχουν $s,t\in \mathbb{R}$ ώστε

Z=P+tu=Q+sv

Παίρνουμε ότι P-Q=sv-tu

(1)

Παίρνοντας συζυγή έχουμε

$\bar{P}-\bar{Q}=s\bar{v}-t\bar{u}$ (2)

Οι (1),(2) είναι σύστημα με αγνώστους τα s,t

Βρίσκουμε $s=\frac{1}{u\bar{v}-\bar{u}v}.(\bar{P}u-\bar{Q}u-(P\bar{u}-Q\bar{u}))$

Αντικαθιστώντας στην Z=Q+sv

και κάνοντας τις πράξεις παίρνουμε το ζητούμενο.

Μιγαδικό σημείο τομής

Μιγαδικό σημείο τομής

Re: Μιγαδικό σημείο τομής

Μέλη σε σύνδεση