Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Τετ Μάιος 27, 2009 4:42 pm

Έστω η εξισωση x^4+ax^3+bx+1=0 (1), -1<a,b<1 (2)
ι)να δειξετε οτι η (1) δεν εχει πραγματικες ριζες
ιι)αν z_1,z_2,z_3,z_4 οι ριζες της (1) και(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4 \Rightarrowα)\alpha =b β) |z_\kappa| =1για καθε\kappa =1,2,3,4
τελευταία επεξεργασία από paganini σε Πέμ Μάιος 28, 2009 10:30 am, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Χρήστος Λαζαρίδης
Δημοσιεύσεις: 656
Εγγραφή: Παρ Ιαν 09, 2009 10:48 am
Τοποθεσία: Παλαιό Φάληρο
Επικοινωνία:

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Χρήστος Λαζαρίδης » Τετ Μάιος 27, 2009 7:35 pm

Paganini
Εννοείς,α και β ανήκουν στο (-1,1);
Στο ii) b) εννοείς \left|z_{\kappa } \right|=1
Φιλικά Χρήστος


Ο ηλίθιος είναι αήττητος
paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Τετ Μάιος 27, 2009 8:17 pm

Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Paganini
Εννοείς,α και β ανήκουν στο (-1,1);
Στο ii) b) εννοείς \left|z_{\kappa } \right|=1
Φιλικά Χρήστος
Σωστα και στα δυο.


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Μάιος 27, 2009 8:35 pm

Προβληματισμός
Συνημμένα
polywnymo.jpg
polywnymo.jpg (66.52 KiB) Προβλήθηκε 1045 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Μάιος 27, 2009 9:15 pm

Καλησπέρα
Για το α)

f(x)= (a-1)x^3+(b-1)x + x^4+x^3+x+1 = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)(x^3+1)  
            = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)^2(x^2-x+1) (1)
Αν x < 0 τότε από την (1) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α-1 <0 και β-1<0

f(x)= (a+1)x^3+(b+1)x + x^4-x^3-x+1= (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)(x^3-1) = (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)^2(x^2+x+1)(2)
Αν x > 0 τότε από την (2) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α+1 >0 και β+1>0
Είναι και f(0) = 1

Άρα f(x) > 0 για κάθε χ στο R οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Για το β) πρέπει να δοθούν οι διευκρινήσεις που έχουν ζητηθεί στα προηγούμενα μηνύματα.

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Τετ Μάιος 27, 2009 9:20 pm

Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P
Ας παραθεσω τη λυση που ειχα γραψει να δουμε που υπαρχει το λαθος τοτε!
Έστω
f(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4) για καθε \chi \epsilon C
f(i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4) καιf(-i)=(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)
γενικα:(1+z^2)=(i-z)(-i-z)
Άρα
f(i)f(-i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4)(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)=(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4\Rightarrow f(i)f(-i)=4(1)
Όμως f(i)=i^4+ai^3+bi+1=2+(b-a)i(2)
και f(-i)=(-i)^4+a(-i)^3+b(-i)+1=2-(b-a)i(3)
Δηλαδη οι f(i),f(-i) ειναι συζυγεις μιγαδικοι
από 1,2,3, εχουμε :f(i)f(-i)=|f^2(i)|=4\Rightarrow |f(i)|=2\Rightarrow4+(b-a)^2=4\Rightarrow b=a


paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Τετ Μάιος 27, 2009 9:27 pm

hsiodos έγραψε:Καλησπέρα
Για το α)

f(x)= (a-1)x^3+(b-1)x + x^4+x^3+x+1 = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)(x^3+1)  
            = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)^2(x^2-x+1) (1)
Αν x < 0 τότε από την (1) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α-1 <0 και β-1<0

f(x)= (a+1)x^3+(b+1)x + x^4-x^3-x+1= (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)(x^3-1) = (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)^2(x^2+x+1)(2)
Αν x > 0 τότε από την (2) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α+1 >0 και β+1>0
Είναι και f(0) = 1

Άρα f(x) > 0 για κάθε χ στο R οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Για το β) πρέπει να δοθούν οι διευκρινήσεις που έχουν ζητηθεί στα προηγούμενα μηνύματα.

Γιώργος
Δεν σας καταλαβα;Ποιες διευκρινισεις;


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Μάιος 27, 2009 9:44 pm

paganini έγραψε:Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P
Ας παραθεσω τη λυση που ειχα γραψει να δουμε που υπαρχει το λαθος τοτε!
Έστω
f(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4) για καθε \chi \epsilon C
f(i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4) καιf(-i)=(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)
γενικα:(1+z^2)=(i-z)(-i-z)
Άρα
f(i)f(-i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4)(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)=(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4\Rightarrow f(i)f(-i)=4(1)
Όμως f(i)=i^4+ai^3+bi+1=2+(b-a)i(2)
και f(-i)=(-i)^4+a(-i)^3+b(-i)+1=2-(b-a)i(3)
Δηλαδη οι f(i),f(-i) ειναι συζυγεις μιγαδικοι
από 1,2,3, εχουμε :f(i)f(-i)=|f^2(i)|=4\Rightarrow |f(i)|=2\Rightarrow4+(b-a)^2=4\Rightarrow b=a
Φίλε μουσικέ των μαθηματικών
από μια πρόχειρη ματιά δεν βλέπω κάποιο λάθος στη λύση σου.
Σε συνδυασμό με α+β = 0 στην λύση του Σεραφείμ (που επίσης δεν βλέπω λάθος) είναι α= β = 0 οπότε (αν έχω δει καλά τις δύο λύσεις) προκύπτει εύκολα και το άλλο ζητούμενο που τώρα επίσης βλέπω ότι έχει διορθωθεί.

Φιλικά
Γιώργος

YΓ Γιατί το ονόμασες έτσι;


Γιώργος Ροδόπουλος
paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Τετ Μάιος 27, 2009 9:49 pm

hsiodos έγραψε:
paganini έγραψε:Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P
Ας παραθεσω τη λυση που ειχα γραψει να δουμε που υπαρχει το λαθος τοτε!
Έστω
f(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4) για καθε \chi \epsilon C
f(i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4) καιf(-i)=(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)
γενικα:(1+z^2)=(i-z)(-i-z)
Άρα
f(i)f(-i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4)(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)=(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4\Rightarrow f(i)f(-i)=4(1)
Όμως f(i)=i^4+ai^3+bi+1=2+(b-a)i(2)
και f(-i)=(-i)^4+a(-i)^3+b(-i)+1=2-(b-a)i(3)
Δηλαδη οι f(i),f(-i) ειναι συζυγεις μιγαδικοι
από 1,2,3, εχουμε :f(i)f(-i)=|f^2(i)|=4\Rightarrow |f(i)|=2\Rightarrow4+(b-a)^2=4\Rightarrow b=a
Φίλε μουσικέ των μαθηματικών
από μια πρόχειρη ματιά δεν βλέπω κάποιο λάθος στη λύση σου.
Σε συνδυασμό με α+β = 0 στην λύση του Σεραφείμ (που επίσης δεν βλέπω λάθος) είναι α= β = 0 οπότε (αν έχω δει καλά τις δύο λύσεις) προκύπτει εύκολα και το άλλο ζητούμενο που τώρα επίσης βλέπω ότι έχει διορθωθεί.

Φιλικά
Γιώργος

YΓ Γιατί το ονόμασες έτσι;
Ετσι μας το ειχε παρουσιασει ο μαθηματικος μας (Ο.Κατσανος) σε μενα και σε μια αλλη κοπελα.
Βλεπετε μονο δυο παιδια πατουσαμε στο μαθημα του προς το τελος!


Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Μάιος 27, 2009 9:53 pm

Συνέχεια .... α=β
Συνημμένα
polywnymo2.jpg
polywnymo2.jpg (60.62 KiB) Προβλήθηκε 936 φορές
τελευταία επεξεργασία από Σεραφείμ σε Τετ Μάιος 27, 2009 9:54 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Σεραφείμ Τσιπέλης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Μάιος 27, 2009 9:53 pm

paganini έγραψε:
hsiodos έγραψε:
paganini έγραψε:Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P

Ετσι μας το ειχε παρουσιασει ο μαθηματικος μας (Ο.Κατσανος) σε μενα και σε μια αλλη κοπελα.
Βλεπετε μονο δυο παιδια πατουσαμε στο μαθημα του προς το τελος!
Ρομαντικό μάθημα λοιπόν , κερδισμένος πολλαπλά!

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Τετ Μάιος 27, 2009 9:59 pm

μαλλον λαθάκι δεδομένων
Συνημμένα
polywnymo3.jpg
polywnymo3.jpg (9.56 KiB) Προβλήθηκε 893 φορές


Σεραφείμ Τσιπέλης
hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Τετ Μάιος 27, 2009 10:04 pm

Ρομαντικό μπέρδεμα με τα τετράγωνα μέσα - έξω.

Αν λοιπόν τα τετράγωνα είναι ''μέσα'' έχει δειχθεί ότι α= β
Για το τελευταίο ερώτημα , με x\neq 0

x^4+ax^3+ax+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)+a\left(x+\frac{1}{x} \right)=0}\Leftrightarrow y^2+ay-2=0\,\,(1) ,y=x+\frac{1}{x}

H (1) έχει D=a^2+8>0 και επομένως έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες y_1,y_2
Έτσι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις:

x+\frac{1}{x}=y_1\Leftrightarrow x^2-y_1x+1=0 (2) και x+\frac{1}{x}=y_2\Leftrightarrow x^2-y_2x+1=0 (3) που λόγω του α) ερωτήματος έχουν (η καθεμιά) μιγαδικές συζυγείς(έχουν πραγματικούς συντελεστές) ρίζες.

H (2) έχει ρίζες z_1,z_2 με z_2=\bar{z_1} και είναι z_1z_2=1 \Leftrightarrow \left|z_1 \right|^2=1\Leftrightarrow \left|z_1 \right|=1 οπότε και \left|z_2 \right|=1

Ομοίως προκύπτει ότι για τις ρίζες z_3,z_4 της (3) ισχύει \left|z_3 \right|=\left|z_4 \right|=1

Γιώργος


Γιώργος Ροδόπουλος
paganini
Δημοσιεύσεις: 108
Εγγραφή: Παρ Φεβ 20, 2009 9:50 pm

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από paganini » Πέμ Μάιος 28, 2009 10:31 am

hsiodos έγραψε:Ρομαντικό μπέρδεμα με τα τετράγωνα μέσα - έξω.

Αν λοιπόν τα τετράγωνα είναι ''μέσα'' έχει δειχθεί ότι α= β
Για το τελευταίο ερώτημα , με x\neq 0

x^4+ax^3+ax+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)+a\left(x+\frac{1}{x} \right)=0}\Leftrightarrow y^2+ay-2=0\,\,(1) ,y=x+\frac{1}{x}

H (1) έχει D=a^2+8>0 και επομένως έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες y_1,y_2
Έτσι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις:

x+\frac{1}{x}=y_1\Leftrightarrow x^2-y_1x+1=0 (2) και x+\frac{1}{x}=y_2\Leftrightarrow x^2-y_2x+1=0 (3) που λόγω του α) ερωτήματος έχουν (η καθεμιά) μιγαδικές συζυγείς(έχουν πραγματικούς συντελεστές) ρίζες.

H (2) έχει ρίζες z_1,z_2 με z_2=\bar{z_1} και είναι z_1z_2=1 \Leftrightarrow \left|z_1 \right|^2=1\Leftrightarrow \left|z_1 \right|=1 οπότε και \left|z_2 \right|=1

Ομοίως προκύπτει ότι για τις ρίζες z_3,z_4 της (3) ισχύει \left|z_3 \right|=\left|z_4 \right|=1

Γιώργος
Εχετε απολυτο δικιο!Με συγχωρειτε για την ταλαιπωρια που σας εβαλα οποιους εβαλα.Τωρα ειναι διορθωμενο.Τελικα,δεν ειναι και τοσο ευκολο να γραψεις στο latex!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης