Σελίδα 1 από 1

Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 4:42 pm
από paganini
Έστω η εξισωση x^4+ax^3+bx+1=0 (1), -1<a,b<1 (2)
ι)να δειξετε οτι η (1) δεν εχει πραγματικες ριζες
ιι)αν z_1,z_2,z_3,z_4 οι ριζες της (1) και(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4 \Rightarrowα)\alpha =b β) |z_\kappa| =1για καθε\kappa =1,2,3,4

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 7:35 pm
από Χρήστος Λαζαρίδης
Paganini
Εννοείς,α και β ανήκουν στο (-1,1);
Στο ii) b) εννοείς \left|z_{\kappa } \right|=1
Φιλικά Χρήστος

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 8:17 pm
από paganini
Χρήστος Λαζαρίδης έγραψε:Paganini
Εννοείς,α και β ανήκουν στο (-1,1);
Στο ii) b) εννοείς \left|z_{\kappa } \right|=1
Φιλικά Χρήστος
Σωστα και στα δυο.

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 8:35 pm
από Σεραφείμ
Προβληματισμός

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:15 pm
από hsiodos
Καλησπέρα
Για το α)

f(x)= (a-1)x^3+(b-1)x + x^4+x^3+x+1 = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)(x^3+1)  
            = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)^2(x^2-x+1) (1)
Αν x < 0 τότε από την (1) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α-1 <0 και β-1<0

f(x)= (a+1)x^3+(b+1)x + x^4-x^3-x+1= (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)(x^3-1) = (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)^2(x^2+x+1)(2)
Αν x > 0 τότε από την (2) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α+1 >0 και β+1>0
Είναι και f(0) = 1

Άρα f(x) > 0 για κάθε χ στο R οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Για το β) πρέπει να δοθούν οι διευκρινήσεις που έχουν ζητηθεί στα προηγούμενα μηνύματα.

Γιώργος

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:20 pm
από paganini
Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P
Ας παραθεσω τη λυση που ειχα γραψει να δουμε που υπαρχει το λαθος τοτε!
Έστω
f(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4) για καθε \chi \epsilon C
f(i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4) καιf(-i)=(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)
γενικα:(1+z^2)=(i-z)(-i-z)
Άρα
f(i)f(-i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4)(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)=(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4\Rightarrow f(i)f(-i)=4(1)
Όμως f(i)=i^4+ai^3+bi+1=2+(b-a)i(2)
και f(-i)=(-i)^4+a(-i)^3+b(-i)+1=2-(b-a)i(3)
Δηλαδη οι f(i),f(-i) ειναι συζυγεις μιγαδικοι
από 1,2,3, εχουμε :f(i)f(-i)=|f^2(i)|=4\Rightarrow |f(i)|=2\Rightarrow4+(b-a)^2=4\Rightarrow b=a

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:27 pm
από paganini
hsiodos έγραψε:Καλησπέρα
Για το α)

f(x)= (a-1)x^3+(b-1)x + x^4+x^3+x+1 = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)(x^3+1)  
            = (a-1)x^3+(b-1)x +(x+1)^2(x^2-x+1) (1)
Αν x < 0 τότε από την (1) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α-1 <0 και β-1<0

f(x)= (a+1)x^3+(b+1)x + x^4-x^3-x+1= (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)(x^3-1) = (a+1)x^3+(b+1)x +(x-1)^2(x^2+x+1)(2)
Αν x > 0 τότε από την (2) προκύπτει ότι f(x) > 0 αφού α+1 >0 και β+1>0
Είναι και f(0) = 1

Άρα f(x) > 0 για κάθε χ στο R οπότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες.

Για το β) πρέπει να δοθούν οι διευκρινήσεις που έχουν ζητηθεί στα προηγούμενα μηνύματα.

Γιώργος
Δεν σας καταλαβα;Ποιες διευκρινισεις;

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:44 pm
από hsiodos
paganini έγραψε:Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P
Ας παραθεσω τη λυση που ειχα γραψει να δουμε που υπαρχει το λαθος τοτε!
Έστω
f(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4) για καθε \chi \epsilon C
f(i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4) καιf(-i)=(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)
γενικα:(1+z^2)=(i-z)(-i-z)
Άρα
f(i)f(-i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4)(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)=(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4\Rightarrow f(i)f(-i)=4(1)
Όμως f(i)=i^4+ai^3+bi+1=2+(b-a)i(2)
και f(-i)=(-i)^4+a(-i)^3+b(-i)+1=2-(b-a)i(3)
Δηλαδη οι f(i),f(-i) ειναι συζυγεις μιγαδικοι
από 1,2,3, εχουμε :f(i)f(-i)=|f^2(i)|=4\Rightarrow |f(i)|=2\Rightarrow4+(b-a)^2=4\Rightarrow b=a
Φίλε μουσικέ των μαθηματικών
από μια πρόχειρη ματιά δεν βλέπω κάποιο λάθος στη λύση σου.
Σε συνδυασμό με α+β = 0 στην λύση του Σεραφείμ (που επίσης δεν βλέπω λάθος) είναι α= β = 0 οπότε (αν έχω δει καλά τις δύο λύσεις) προκύπτει εύκολα και το άλλο ζητούμενο που τώρα επίσης βλέπω ότι έχει διορθωθεί.

Φιλικά
Γιώργος

YΓ Γιατί το ονόμασες έτσι;

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:49 pm
από paganini
hsiodos έγραψε:
paganini έγραψε:Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P
Ας παραθεσω τη λυση που ειχα γραψει να δουμε που υπαρχει το λαθος τοτε!
Έστω
f(x)=(x-z_1)(x-z_2)(x-z_3)(x-z_4) για καθε \chi \epsilon C
f(i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4) καιf(-i)=(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)
γενικα:(1+z^2)=(i-z)(-i-z)
Άρα
f(i)f(-i)=(i-z_1)(i-z_2)(i-z_3)(i-z_4)(-i-z_1)(-i-z_2)(-i-z_3)(-i-z_4)=(1+z_1^2)(1+z_2^2)(1+z_3^2)(1+z_4^2)=4\Rightarrow f(i)f(-i)=4(1)
Όμως f(i)=i^4+ai^3+bi+1=2+(b-a)i(2)
και f(-i)=(-i)^4+a(-i)^3+b(-i)+1=2-(b-a)i(3)
Δηλαδη οι f(i),f(-i) ειναι συζυγεις μιγαδικοι
από 1,2,3, εχουμε :f(i)f(-i)=|f^2(i)|=4\Rightarrow |f(i)|=2\Rightarrow4+(b-a)^2=4\Rightarrow b=a
Φίλε μουσικέ των μαθηματικών
από μια πρόχειρη ματιά δεν βλέπω κάποιο λάθος στη λύση σου.
Σε συνδυασμό με α+β = 0 στην λύση του Σεραφείμ (που επίσης δεν βλέπω λάθος) είναι α= β = 0 οπότε (αν έχω δει καλά τις δύο λύσεις) προκύπτει εύκολα και το άλλο ζητούμενο που τώρα επίσης βλέπω ότι έχει διορθωθεί.

Φιλικά
Γιώργος

YΓ Γιατί το ονόμασες έτσι;
Ετσι μας το ειχε παρουσιασει ο μαθηματικος μας (Ο.Κατσανος) σε μενα και σε μια αλλη κοπελα.
Βλεπετε μονο δυο παιδια πατουσαμε στο μαθημα του προς το τελος!

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:53 pm
από Σεραφείμ
Συνέχεια .... α=β

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:53 pm
από hsiodos
paganini έγραψε:
hsiodos έγραψε:
paganini έγραψε:Λετε να εχει προβλημα το ρομαντικο αυτο θεμα; :P

Ετσι μας το ειχε παρουσιασει ο μαθηματικος μας (Ο.Κατσανος) σε μενα και σε μια αλλη κοπελα.
Βλεπετε μονο δυο παιδια πατουσαμε στο μαθημα του προς το τελος!
Ρομαντικό μάθημα λοιπόν , κερδισμένος πολλαπλά!

Γιώργος

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 9:59 pm
από Σεραφείμ
μαλλον λαθάκι δεδομένων

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Τετ Μάιος 27, 2009 10:04 pm
από hsiodos
Ρομαντικό μπέρδεμα με τα τετράγωνα μέσα - έξω.

Αν λοιπόν τα τετράγωνα είναι ''μέσα'' έχει δειχθεί ότι α= β
Για το τελευταίο ερώτημα , με x\neq 0

x^4+ax^3+ax+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)+a\left(x+\frac{1}{x} \right)=0}\Leftrightarrow y^2+ay-2=0\,\,(1) ,y=x+\frac{1}{x}

H (1) έχει D=a^2+8>0 και επομένως έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες y_1,y_2
Έτσι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις:

x+\frac{1}{x}=y_1\Leftrightarrow x^2-y_1x+1=0 (2) και x+\frac{1}{x}=y_2\Leftrightarrow x^2-y_2x+1=0 (3) που λόγω του α) ερωτήματος έχουν (η καθεμιά) μιγαδικές συζυγείς(έχουν πραγματικούς συντελεστές) ρίζες.

H (2) έχει ρίζες z_1,z_2 με z_2=\bar{z_1} και είναι z_1z_2=1 \Leftrightarrow \left|z_1 \right|^2=1\Leftrightarrow \left|z_1 \right|=1 οπότε και \left|z_2 \right|=1

Ομοίως προκύπτει ότι για τις ρίζες z_3,z_4 της (3) ισχύει \left|z_3 \right|=\left|z_4 \right|=1

Γιώργος

Re: Ενα πολυ...ρομαντικο θεμα.

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Μάιος 28, 2009 10:31 am
από paganini
hsiodos έγραψε:Ρομαντικό μπέρδεμα με τα τετράγωνα μέσα - έξω.

Αν λοιπόν τα τετράγωνα είναι ''μέσα'' έχει δειχθεί ότι α= β
Για το τελευταίο ερώτημα , με x\neq 0

x^4+ax^3+ax+1=0\Leftrightarrow x^2+ax+\frac{a}{x}+\frac{1}{x^2}=0\displaystyle{\Leftrightarrow \left(x^2+\frac{1}{x^2} \right)+a\left(x+\frac{1}{x} \right)=0}\Leftrightarrow y^2+ay-2=0\,\,(1) ,y=x+\frac{1}{x}

H (1) έχει D=a^2+8>0 και επομένως έχει δύο πραγματικές και άνισες ρίζες y_1,y_2
Έτσι η αρχική εξίσωση είναι ισοδύναμη με τις εξισώσεις:

x+\frac{1}{x}=y_1\Leftrightarrow x^2-y_1x+1=0 (2) και x+\frac{1}{x}=y_2\Leftrightarrow x^2-y_2x+1=0 (3) που λόγω του α) ερωτήματος έχουν (η καθεμιά) μιγαδικές συζυγείς(έχουν πραγματικούς συντελεστές) ρίζες.

H (2) έχει ρίζες z_1,z_2 με z_2=\bar{z_1} και είναι z_1z_2=1 \Leftrightarrow \left|z_1 \right|^2=1\Leftrightarrow \left|z_1 \right|=1 οπότε και \left|z_2 \right|=1

Ομοίως προκύπτει ότι για τις ρίζες z_3,z_4 της (3) ισχύει \left|z_3 \right|=\left|z_4 \right|=1

Γιώργος
Εχετε απολυτο δικιο!Με συγχωρειτε για την ταλαιπωρια που σας εβαλα οποιους εβαλα.Τωρα ειναι διορθωμενο.Τελικα,δεν ειναι και τοσο ευκολο να γραψεις στο latex!