Μιγαδικοί

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

Thanasis Tasoulas
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2012 9:11 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Μιγαδικοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Thanasis Tasoulas » Παρ Σεπ 28, 2012 4:53 pm

Η παρακάτω άσκηση με παραξένεψε πάρα πολύ ως προς το δ) ερώτημα ,μετά θα ανεβάσω και τη δική μου λύση για το δ) που κάτι δεν της πάει καλά.

Έστω z=x+yi μιγαδικός με x\neq 0 , x,y\in R και ο μιγαδικός \displaystyle w=\frac{z+\left|z \right|^2}{z^2+\left|z \right|^2}
του οποίου η εικόνα μεταβάλλεται στην ευθεία \varepsilon : y=x-1 .
α) Να εκφράσετε τον w στη μορφή \alpha +\beta i , \alpha ,\beta \in R .
β) Να δείξετε ότι η εικόνα του z μεταβάλλεται κι αυτή στην ίδια ευθεία \varepsilon.
γ) Να δείξετε ότι: Re(z-w)=Im(z-w) .
δ) Να βρείτε τους μιγαδικούς z και w όταν η απόσταση των εικόνων τους είναι \sqrt{2} και x\in Z .
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Σάβ Σεπ 29, 2012 10:32 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση κώδικα $ LaTeX$


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μιγαδικοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Σάβ Σεπ 29, 2012 1:00 am

...γιά να δούμε τι συμβαίνει....

α) Είναι w=\frac{z+{{\left| z \right|}^{2}}}{{{z}^{2}}+{{\left| z \right|}^{2}}}=\frac{z+z\bar{z}}{{{z}^{2}}+z\bar{z}}=\frac{z(1+\bar{z})}{z(z+\bar{z})}=\frac{1+x-yi}{2x}=(\frac{1}{2x}+\frac{1}{2})-\frac{y}{2x}i

β) Αφού η εικόνα του w ανήκει στην ευθεία y=x-1 θα ισχύει ότι Im(w)=Re(w)-1 δηλαδή

-\frac{y}{2x}=\frac{1}{2x}+\frac{1}{2}-1\Leftrightarrow -y=1-x\Leftrightarrow y=x-1 Im(z-w)=x-1+\frac{x-1}{2x}=x-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}=x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}

γ) Είναι z-w=x+yi-\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}+\frac{y}{2x}i=(x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{2})+(y+\frac{y}{2x})i και επειδή y=x-1

το Im(z-w) =x-1+\frac{x-1}{2x}=x-1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2x}=x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{2} άρα τελικά ισχύει Im(z-w)=Re(z-w)

δ) Είναι λόγω (γ) \left| z-w \right|=\sqrt{2}\left| \alpha  \right| με \alpha το πραγματικό μέρος του z-wκαι αφού θέλουμε \left| z-w \right|=\sqrt{2}

θα είναι \left| \alpha  \right|=1\Leftrightarrow \alpha =-1,\,\,\,\,\alpha =1

άρα γιά x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}=-1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x-1=0\Leftrightarrow \left\{ x=-1,\,\,x=\frac{1}{2} \right\} έχουμε από εδώ όταν

x=-1 το y=-2 άρα {{z}_{1}}=-1-2i, και {{w}_{1}}=-i και όταν

x=\frac{1}{2} απορρίπτεται αφού x ακέραιος

και γιά x-\frac{1}{2x}-\frac{1}{2}=1\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-3x-1=0\Leftrightarrow \left\{ x=\frac{3+\sqrt{17}}{4},\,\,x=\frac{3-\sqrt{17}}{4} \right\} που απορρίπτονται αφού x ακέραιος.

(έγιναν οι διορθώσεις αφού δεν είχα προσέξει το ακέραιος...)

...δεν βλέπω κάτι το περίεργο...ισως βλέπει κάτι άλλο ο thanos...είδομεν...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης
τελευταία επεξεργασία από KAKABASBASILEIOS σε Κυρ Σεπ 30, 2012 2:47 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Μπουμπουλής Κώστας
Δημοσιεύσεις: 56
Εγγραφή: Τρί Απρ 26, 2011 1:58 am

Re: Μιγαδικοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπουμπουλής Κώστας » Σάβ Σεπ 29, 2012 2:37 am

Αυτά βρήκα κι εγώ, αλλά δεχόμαστε μόνο το x=-1 αφού το x είναι ακέραιος.
τελευταία επεξεργασία από Γενικοί Συντονιστές σε Σάβ Σεπ 29, 2012 10:33 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση κώδικα $ LaTeX$


Thanasis Tasoulas
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2012 9:11 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μιγαδικοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Thanasis Tasoulas » Σάβ Σεπ 29, 2012 8:15 pm

γράφω και τη δική μου λύση μόνο για το δ) γιατί δεν έχω καταλάβει που έχω λάθος,

Αν z=x+yi,x\in Z και w=a+bi και
y=x-1 και b=a-1 τότε
\left|z-w \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow (x-a)^2+(y-b)^2=2\Leftrightarrow (x-a)^2+(x-1-a+1)^2=2\Leftrightarrow (x-a)^2=1\Leftrightarrow
x-a=1 ή x-a=-1 άρα
z=x+(x-1)i και w=x-1+(x-2)i ή w=x+1+xi με x\in Z.
Που ισχύουν για κάθε x\in Z.
τελευταία επεξεργασία από Thanasis Tasoulas σε Κυρ Σεπ 30, 2012 12:57 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1525
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μιγαδικοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Κυρ Σεπ 30, 2012 2:30 am

thanos789 έγραψε:γράφω και τη δική μου λύση μόνο για το δ) γιατί δεν έχω καταλάβει που έχω λάθος,

Αν z=x+yi,x\in Z και w=a+b και
y=x-1 και b=a-1 τότε
\left|z-w \right|=\sqrt{2}\Leftrightarrow (x-a)^2+(y-b)^2=2\Leftrightarrow (x-a)^2+(x-1-a+1)^2=2\Leftrightarrow (x-a)^2=1\Leftrightarrow
x-a=1 ή x-a=-1 άρα
z=x+(x-1)i και w=x-1+(x-2)i ή w=x+1+xi με x\in Z.
Που ισχύουν για κάθε x\in Z.
...βάζοντας y=x-1 γιά τον z και β=α-1 γιά τον w τους αφήνεις να κινούνται "ελεύθερα" πάνω στην ίδια ευθεία που ανήκουν χωρίς να παίρνεις υπ όψιν σου την εξάρτηση που έχουν...γι αυτό βγαίνουν άπειρες οι λυσεις...

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
dennys
Δημοσιεύσεις: 1275
Εγγραφή: Τετ Μάιος 05, 2010 11:29 pm
Τοποθεσία: θεσσαλονικη

Re: Μιγαδικοί

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από dennys » Κυρ Σεπ 30, 2012 10:30 am

Good morning GREECE ωωωωωωωωωωωωωωωωωωχ Συγγνώμη φίλοι μου μαθαίνω Αγγλικά γιατί δεν ξέρω που θα μας πάει η ζωή Αυστραλία ,Αμερική ....

και με γοργούς ρυθμούς ετοιμαζομαι .Τέλος πάντων

Συμφωνώ με τον φίλο Βασίλη και επαυξάνω λέγοντας ότι αφού Re(z-w)=Im(z-w) η εικόνα του(z-w) κινείται στην διχοτόμο y=x

O κύκλος με κέντρο την αρχή και ακτίνα \sqrt{2} τέμνει την διχοτόμο στα (1,1),(-1,-1) και η πρ'ωτη απορρίπτεται αφου για x=1\Rightarrow z=w

και για x=-1, z=-1-2i,w=-i\Rightarrow |z-w|=\sqrt{2}

Ο θεματοδότης εδώ τους έδεσε μετα δεσμά της σχέσης w=\cfrac{1+\bar z}{z+\bar z} , αλλιως πάμε σε άπειρες λύσεις ,αφου απειρα σημεία πάνω στην y=x-1

απέχουν \sqrt{2}.Bασίλη αν θές κάνε ενα σχήμα με την y=x-1, y=xκλπ

GOOD BUY ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩΧ ΚΑLIMERA ITELA NA PO.

dennys


Dennys =Ξεκλείδωμα κάθε άσκησης
Thanasis Tasoulas
Δημοσιεύσεις: 118
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 22, 2012 9:11 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Μιγαδικοί

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Thanasis Tasoulas » Κυρ Σεπ 30, 2012 12:54 pm

Ευχαριστώ πολύ, κατάλαβα το σφάλμα στην λύση αφού είχα ξεχάσει ότι τo x και το a είδη συνδέονταν με μία σχέση. :)


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης