Σύστημα και Γεωμετρική

#1

1) Να λυθεί το σύστημα

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{cc} z^{3}+w^{5}=0 \\ z^{2}\cdot \bar{w}^{4}=1\\ \end{array} \right\} \end{displaymath}$

2) Αν οι $z_{1},\ldots,z_{4}$ είναι κορυφές εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με $|z_{i}|=10$ , ας δειχθεί ότι $|z_{1}-z_{2}|+|z_{2}-z_{3}|+|z_{3}-z_{4}|+|z_{4}-z_{1}|<63$ .

#2

Για την πρώτη:

Από την πρώτη σχέση παίρνοντας μέτρα έχουμε |z|^3=|w|^5

και από τη δεύτερη όμοια παίρνουμε |z||w|^2=1

δηλαδή $|z|=\displaystyle\frac{1}{|w|^2}$ . Αντικαθιστώντας στην παραπάνω παίρνουμε τελικά |w|=1

άρα $\bar{w}=\displaystyle\frac{1}{w}$ οπότε το σύστημα πλέον γίνεται:

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{cc} z^{3}+w^{5}=0 \\ z^{2}=w^{4}\\ \end{array} \end{displaymath}$

Έτσι η πρώτη σχέση με τη βοήθεια της δεύτερης γίνεται z^3+z^2w =0

οπότε

ή

.

Αν

τότε

(ζεύγος το οποίο δεν ικανοποιεί το σύστημα) ενώ αν z=-w

, λύνοντας το σύστημα

$\begin{displaymath} \left\{ \begin{array}{cc} z=-w \\ z^{2}=w^{4}\\ \end{array} \end{displaymath}$

παίρνουμε τα επιπλέον ζεύγη (z,w)=(1,-1)

και

τα οποία επίσης ικανοποιούν το σύστημα.

Αλέξανδρος

Edit: Διόρθωση στην κόκκινη λέξη παραπάνω. Ευχαριστώ Μυρτώ.

#3

Για τη δεύτερη:

Είναι γνωστό ότι μεταξύ όλων των n-γώνων που είναι εγγεγραμμένα σε δοσμένο κύκλο, το κανονικό n-γωνο έχει τη μέγιστη περίμετρο.

Συνεπώς επειδή το τετράγωνο έχει μέγιστη περίμετρο στην περίπτωσή μας και μάλιστα ίση με $4\cdot 10\sqrt{2}=40\sqrt{2}$ , άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι

$40\sqrt{2}<63$ που ισχύει.

Αλέξανδρος

#4

cretanman έγραψε:Για τη δεύτερη:

Είναι γνωστό ότι μεταξύ όλων των n-γώνων που είναι εγγεγραμμένα σε δοσμένο κύκλο, το κανονικό n-γωνο έχει τη μέγιστη περίμετρο.

Συνεπώς επειδή το τετράγωνο έχει μέγιστη περίμετρο στην περίπτωσή μας και μάλιστα ίση με $4\cdot 10\sqrt{2}=40\sqrt{2}$ , άρα αρκεί να αποδείξουμε ότι

$40\sqrt{2}<63$ που ισχύει.

Αλέξανδρος

Μας κάναι ακόμα και το χειρότερο φράγμα, το μήκος του κύκλου που είναι 62,8

pito · #5

Αν

τότε

(ζεύγος το οποίο ικανοποιεί το σύστημα).

Mάλλον δεν βλέπω κάτι , αλλά πως αυτό το ζεύγος ικανοποιεί το σύστημα αφού τότε $z^{2}\bar{w}^{4}=0\neq 1$ ;;;;;

Σύστημα και Γεωμετρική

Σύστημα και Γεωμετρική

Re: Σύστημα και Γεωμετρική

Re: Σύστημα και Γεωμετρική

Re: Σύστημα και Γεωμετρική

Re: Σύστημα και Γεωμετρική

Μέλη σε σύνδεση