Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

kostas_zervos · #61

landreou έγραψε:Να πάρω συζυγή ; Δε κατάλαβα .....

Ισχύει ότι $z=w\iff \bar{z}=\bar{w}$ . Εφάρμοσέ το στην ισότητα στο (α).

landreou · #62

Αυτό το κάνουμε για να φύγουν - με την αφάιρεση κατα μέλη μετά - οι όροι που έχουν τα μέτρα και ιδίως για το όρο που έχει μέτρο στον παρονομαστή ;
Και πάλι βγαίνει $x \ = 2$ ή $y \ = 0$ αλλά μου φαίνεται κατι δε πάει καλά ..... κάτι κάνω λάθος .

landreou · #63

Όλο το set 5.220 είναι πολύ καλές , μου φαίνεται, ( μέχρι στγμής δεν έχω καταφέρει καμία ).
Θέλουν αλγεβρικά κόλπα πρίν ( να τις φτιάξουμε δηλαδή ) για να θέσουμε μετά $z \ = x \ + y \ i$ .

Σταμ. Γλάρος · #64

Ευχαριστώ θερμά, για την εξαιρετική αυτή συλλογή!
Σταμ. Γλάρος

landreou · #65

Μια παρακληση πρός όλους τους φίλους του φόρουμ .
Αν γίνεται να μας υποδείξουν ποιες ασκήσεις - από αυτό το φυλλάδιο - να λύσουμε προκειμένου για προετοιμασία σε πανελλαδικές .
Σας το ζητάω αυτό γιατί μπορεί κάποια θέματα να μήν είναι για πανελλαδικές και χάνεται χρόνος σε
θέματα που το πνεύμα τους είναι εκτός του στόχου .
Σε κάθε ενότητα που υπάρχει στο φυλλάδιο αν γίνεται και η αντίστοιχη πρόταση - αυτό θα βοηθούσε πολύ ( πάρα πολύ θα έλεγα ) .
Απο σελίδες 11 μέχρι και 17 υπάρχουν κάποιες προτάσεις ;
Σας ευχαριστώ εκ προοιμίου .

zorba_the_freak · #66

Nομίζω ότι η ενότητα με τα επαναληπτικά θέματα θα σε καλύψει...

zorba_the_freak · #67

Το αρχείο ανανεώθηκε...μπορείτε να το κατεβάσετε από το link που έχω στην αρχική σελίδα...

erxmer · #68

Τρομερό το αρχείο...καταπληκτική δουλειά του συγγραφέα. Μήπως να υπήρχε και κάτι σε κάποιο άλλο κομμάτι της ύλης πχ στην αγαπημένη πολλών στο

ανάλυσης;

#69

zorba_the_freak έγραψε:Το αρχείο ανανεώθηκε...μπορείτε να το κατεβάσετε από το link που έχω στην αρχική σελίδα...

Καλή χρονιά !

Δεν μένει παρά σε αυτό το υπέροχο υλικό να γράψεις και τις απαντήσεις-υποδείξεις και να το βγάλεις σε ένα υπέροχο βιβλίο, για να το χαρείς και συ και όλοι μας !

Οι μιγαδικοί έχουν γίνει για όλους ένας μπελάς και μόνο έτσι θα σταματήσει η αγωνία

μαθητών και καθηγητών !

Μπάμπης

Paolos · #70

Για τις υποδείξεις-απαντήσεις μάλλον πρέπει να βοηθήσουμε όλοι εδώ..

Tolaso J Kos · #71

Καλησπέρα...
πάρα πολύ ωραίο αρχείο!! Θα το κρατήσω στη συλλογή.
Είναι ιδανικό για επανάληψη αλλά και για την εμπέδωση των μιγαδικών όταν οι μαθητές έχουν μία πρώτη επαφή με αυτούς...

Λάμπρος Μπαλός · #72

Ευχαριστώ πολύ

zorba_the_freak · #73

Το αρχείο ανανεώθηκε. Προστέθηκαν ασκήσεις, τα συνδιαστικά θέματα χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες (αντί για δύο που ήταν), προστέθηκαν τα θέματα 2014 και έγιναν διορθώσεις σε κάποια λαθάκια που υπήρχαν. Κατεβάστε το από το σύνδεσμο που υπάρχει στην αρχή αυτού του post.

Χρήστος Λαζαρίδης · #74

Πολύ καλή δουλειά.
Συγχαρητήρια.

Φιλικά Χρήστος

matheX · #75

Paolos έγραψε:Για τις υποδείξεις-απαντήσεις μάλλον πρέπει να βοηθήσουμε όλοι εδώ..

Λέω να κάνω την αρχή. Δεν είναι κάτι σπουδαίο αλλά από κάπου έπρεπε να ξεκινήσουμε.Προτείνω να γράφουμε (με τη σειρά) τις λύσεις των "κανονικών" ασκήσεων και να αφήσουμε τις ασκήσεις κατανόησης τελευταίες.Παρ' όλα αυτά ξεκίνησα από τέτοιες ασκήσεις.Δεκτές οποιεσδήποτε διορθώσεις, υποδείξεις, και προτεινόμενες λύσεις.
Όσοι πιστοί προσέλθετε

1.1

$\\\alpha)3i\\ \beta)-2+6i\\ \gamma)0\\ \delta)-6\\ \epsilon)3+13i\\ \zeta)-4\\ \eta)6-19i\\ \theta)-x-4xi\\ \\$

1.2

$\\\alpha)1+2i\\ \beta)2i\\ \gamma)i\\ \delta) 3-3i\\ \epsilon)\displaystyle\frac{1}{2}-\displaystyle\frac{3}{2}i\\ \zeta)i\\ \eta)1+i\\ \theta) \sigma \upsilon \nu (2\theta )-i\eta \mu (2\theta )\\ \iota)-i\\ \kappa)\displaystyle \frac{3}{5}+\displaystyle\frac{11}{5}i\\ \lambda) -\displaystyle\frac{i}{2}\\ \mu) \displaystyle\frac{3}{25}-\displaystyle\frac{54}{25}i\\ \nu)-i\\$

1.3

$\\ \alpha) 11-2i\\ \beta)-1\\ \gamma) -1-2i\sqrt{2}\\ \delta)34\\ \epsilon)9\\ \zeta)-11+2i\\ \eta)4i\\ \theta)-92\\ \iota)6250+3125i\\ \\$

1.4

$\\\alpha)Re(1)=1,Im(1)=0\\ \beta) Re(\displaystyle\frac{-6}{25})=\displaystyle\frac{-6}{25},Im(\frac{-6}{25})=0\\ \gamma)Re(2+5i)=2,Im(2+5i)=5\\ \\$

1.5

$\\ \alpha)\displaystyle \frac{13}{10}+\displaystyle\frac{9}{10}i\\ \beta)-1\\ \gamma)0\\ \delta)-i\\ \epsilon) -\displaystyle\frac{9}{2}\\ \zeta)-9\\ \eta)0\\ \theta) \displaystyle\frac{20}{269}x+\frac{26}{269}xi\\ \\$

1.6

$\\(x-1-i)(x-1+i)(x+1+i)(x+1-i)=(x-(1+i))(x+1+i)(x-(1-i))(x+1-i)=(x^2-(1+i)^2)(x^2-(1-i)^2)=(x^2-2i)(x^2+2i)=(x^2)^2-(2i) ^2=x^4+4$

1.7

$\\z+w=5+i\\ \\ zw=18-i\\ \\ \displaystyle\frac{26}{w}=4+6i\\ \\ \displaystyle\frac{25w}{z}=4+6i\\ \\ \displaystyle\frac{25w}{z}=-6-17i\\$

1.8

$w=\displaystyle\frac{9}{29}+\frac{8}{29}i$

1.9

$Re(w)=-\displaystyle\frac{3}{2}, Im(w)=-\displaystyle\frac{1}{2}$

1.10

$z=1+\displaystyle\frac{i}{2}$

Αντικαθιστούμε τον

στην εξίσωση 4z^2-8z+5=0

και διαπιστώνουμε πως την επαληθεύει.

1.11

x=15

1.12

$\\ \alpha)z=\displaystyle\frac{\sigma \upsilon \nu \theta -i\eta \mu \theta }{\eta \mu \theta +i\sigma \upsilon \nu \theta }=\displaystyle\frac{(\sigma \upsilon \nu \theta -i\eta \mu \theta)(\eta \mu \theta -i\sigma \upsilon \nu \theta )}{(\eta \mu \theta +i\sigma \upsilon \nu \theta)(\eta \mu \theta -i\sigma \upsilon \nu \theta ) }=\frac{{-(\eta \mu }^{2}\theta+{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta)i}{{\eta \mu }^{2}\theta+{\sigma \upsilon \nu }^{2}\theta}=-i\\ \\ \beta)(1+z)^6=(1-i)^6=((1-i)^2)^3=(-2i)^3=8i$

1.13

Έστω $\displaystyle\frac{a}{7+4i}=\displaystyle\frac{b}{1+2i}=\displaystyle\frac{c}{1+3i}=k$ , τότε : $\left\{\begin{matrix}a=7k+4ki\\ b=k+2ki\\ c=k+3ki \end{matrix}\right.$

Αντικαθιστούμε:
${\displaystyle\frac{a}{a-6b+2c}=\displaystyle\frac{7k+4ki}{7k+4ki-6(k+2ki)+2(k+3ki)}=\frac{7k+4ki}{3k-2ki}=\frac{k(7+4i)}{k(3-2i)}=\frac{7+4i}{3-2i}=1+2i}$

1.14

$\alpha),\beta)$ Εκτελούμε τις πράξεις.

$\\ \gamma)\displaystyle\frac{{(1+i)}^{n}}{{(1-i)}^{n-2}}=\displaystyle\frac{{(1+i)}^{n}}{\frac{{(1-i)}^{n}}{{(1-i)}^{2}}}=\displaystyle\frac{{(1+i)}^{n}}{\frac{{(1-i)}^{n}}{{-2i}}}=-2i\displaystyle\frac{{(1+i)}^{n}}{{(1-i)}^{n}}=-2i\displaystyle\frac{{(1+i)}^{n}}{{(-i^2-i)}^{n}}=-2i\displaystyle\frac{{(1+i)}^{n}}{{(-i(i+1))}^{n}}=-2i\displaystyle\frac{{(1+i)}^{n}}{{(-i)}^{n}{(1+i)}^{n}}=2(-i)^{1-n}=2i^{n-1}$

$\delta) (1+i)^{4n}=(-i^2+i)^{4n}=(i(-i+1))^{4n}=i^{4n}(1-i)^{4n}=(1-i)^{4n}$ για κάθε $n\in\mathbb{N}.$

1.15

Έστω $z=x+yi , x,y \in \mathbb{R}$ τότε : Re(z)=x

και $Re\left(\displaystyle\frac{1}{z} \right)=Re\left(\displaystyle\frac{1}{x+yi} \right)=Re\left(\displaystyle\frac{x-yi}{x^2+y^2} \right)=\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}$
$\displaystyle\frac{x}{x^2+y^2}>0\Leftrightarrow Re\left(\displaystyle\frac{1}{z} \right)>0$ αν και μόνο αν $x>0\Leftrightarrow Re(z)>0$

zorba_the_freak · #76

Συμφωνώ απόλυτα! Δε μπορώ να τη κάνω μόνος μου όλη αυτή τη δουλειά...μπορώ όμως να συμπληρώνω τις λύσεις στο τεχ αρχείο και να βγει ένα αρχείο-διαμάντι στους μιγαδικούς που θα μοιράζεται ελεύθερα και θα το χαίρονται όλοι. Προσωπικά το κάνω από κέφι και μεράκι και ούτε καν το πραγματικό μου όνομα θα βάλω....ξεκινάω από σήμερα καταχώρηση λύσεων αγαπητέ matheX

Έχουμε χρόνο μη πλακώνεσαι....σιγά σιγά και όλα θα γίνουν! Ευχαριστώ!

matheX · #77

1.16

$\alpha)$ Έστω n<3

, δηλαδή

ή

επειδή $n\in {\mathbb{N}}^{*}$
$\Gamma\iota \alpha\enspace n=1:\alpha+\beta i=\alpha-\beta i\Leftrightarrow \beta i=-\beta i\Leftrightarrow 2\beta i=0\Leftrightarrow \beta=0$ , άτοπο $(\beta>0)$
$\\\Gamma\iota \alpha\enspace n=2:{(\alpha+\beta i)}^{2}={(\alpha-\beta i)}^{2}\Leftrightarrow {\alpha}^{2}+2\alpha\beta i - {\beta}^{2}={\alpha}^{2}-2\alpha\beta i -\beta}^{2}\Leftrightarrow\\ 2\alpha \beta i=- 2\alpha\beta i\Leftrightarrow 4\alpha\beta i =0\Leftrightarrow$
$\alpha=0$ ή $\beta =0$ , άτοπο $(\alpha,\beta>0)$

$\\\beta)\Gamma \iota \alpha \enspace n=3 :{(a+bi)}^{3}={(a-bi)}^{3}\Leftrightarrow {\alpha}^{3}+3{\alpha}^{2}\beta i-3\alpha{\beta}^{2}-{\beta}^{3}i={\alpha}^{3}-3{\alpha}^{2}\beta i-3\alpha{\beta}^{2}+{\beta}^{3}i\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow 3{\alpha}^{2}={\beta}^{2}\Leftrightarrow \sqrt{3}\alpha=\beta\Leftrightarrow \displaystyle\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

1.17

$z=\displaystyle\frac{1+\sigma \upsilon \nu \theta -i \eta \mu \theta }{2(1+\sigma \upsilon \nu \theta )}$ άρα $Re(z)=\displaystyle\frac{1}{2}$ και $Im(z)=-\displaystyle\frac{\eta \mu \theta }{2(1+\sigma \upsilon \nu \theta )}$
Αντικαθιστούμε και εκτελούμε τις πράξεις.

1.18

$A=3i\sqrt{3}$

1.19

$\alpha)$ Εκτελούμε τις πράξεις.

$\beta){z}^{3}=1\Leftrightarrow {z}^{2}=\displaystyle\frac{1}{z}$
$A={z}^{2n}+{z}^{n}={({z}^{2})}^{n}+{z}^{n}=\displaystyle\frac{1}{{z}^{n}}+{z}^{n}$

Αντικαθιστούμε $n=3k+\upsilon ,\enspace k,\upsilon \in \mathbb{N}$

$\\A\nu \enspace \upsilon =0 \enspace A=2\\ A\nu \enspace \upsilon =1 \enspace A=-1\\ A\nu \enspace \upsilon =2 \enspace A=-1\\$

1.20

$E({z}_{1})=\displaystyle\frac{10}{17}-\frac{11}{17}i$

$E({z}_{2})=\displaystyle\frac{10}{17}+\frac{11}{17}i$

1.21

$z=\displaystyle\frac{\sqrt{1+a}+i\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}-i\sqrt{1-a}}-\displaystyle\frac{\sqrt{1-a}+i\sqrt{1+a}}{\sqrt{1-a}-i\sqrt{1+a}}=2a$

Re(z)=2a, Im(z)=0

$w=\displaystyle\frac{\sqrt{1-a}-i\sqrt{1+a}}{\sqrt{1-a}+i\sqrt{1+a}}-\displaystyle\frac{\sqrt{1+a}-i\sqrt{1-a}}{\sqrt{1+a}+i\sqrt{1-a}}=-2a$

Re(w)=-2a, Im(w)=0

1.22

$\Gamma \iota \alpha \enspace z=x+yi , x , y \in \mathbb{R} : {z}^{2}={(x+yi)}^{2}={x}^{2}+2xyi-{y}^{2}$

$\\Re({z}^{2})={x}^{2}-{y}^{2}\\ Im({z}^{2})=2xy$

Αντικαθιστούμε:

$\\\displaystyle\frac{Re({z}^{2})+iIm({z}^{2})}{Im({z}^{2})-iRe({z}^{2})}=\displaystyle\frac{{x}^{2}-{y}^{2}+2xyi}{2xy-i{x}^{2}+i{y}^{2}}=\displaystyle\frac{{(x+yi)}^{2}}{-{i}^{2}2xy-i{x}^{2}+i{y}^{2}}=\displaystyle\frac{(x+yi)^{2}}{-i(2xyi+{x}^{2}-{y}^{2})}=\displaystyle\frac{(x+yi)^{2}}{{-i(x+yi)^{2}}}=\displaystyle\frac{1}{-i}=i$

$\displaystyle\frac{Re(z)+iIm(z)}{Im(z)-iRe(z)}=\displaystyle\frac{Re(z)+iIm(z)}{-{i}^{2}Im(z)-iRe(z)}=\displaystyle\frac{Re(z)+iIm(z)}{-i(Re(z)+iIm(z))}=\displaystyle\frac{1}{-i}=i$

Άρα

$\displaystyle\frac{Re({z}^{2})+iIm({z}^{2})}{Im({z}^{2})-iRe({z}^{2})}=\displaystyle\frac{Re(z)+iIm(z)}{Im(z)-iRe(z)}$

1.23

$\alpha)$ Αντικαθιστούμε και εκτελούμε τις πράξεις.

$\beta)1+z+{z}^{2}+{z}^{3}+{z}^{4}+{z}^{5}+{z}^{6}=1+z+{z}^{2}+{z}^{3}+{z}^{4}(1+z+{z}^{2})=1$

$\gamma){w}^{2}={\left(\displaystyle\frac{1}{2}+i\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}^{2}=-\displaystyle\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} =z$
Άρα ${w}^{2n}={({w}^{2})}^{n}={z}^{n}$

$\delta){w}^{300}={({w}^{2})}^{150}={z}^{150}={({z}^{3})}^{50}={1}^{50}=1$

$\\{w}^{333}={w}^{300}{w}^{33}={w}^{33}={w}^{32}w={({w}^{2})}^{16}w={z}^{16}w={z}^{15}zw=({{z}^{3})}^{5}zw=\left(-\displaystyle\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)\left(\displaystyle\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \right)=-1$

$\epsilon){z}^{2016}={\left({z}^{3} \right)}^{672}={1}^{672}=1$

${z}^{2013}={\left({z}^{3} \right)}^{671}={1}^{671}=1$

Οπότε ${z}^{2016}+\displaystyle\frac{1}{{z}^{2016}}={z}^{2013}+\displaystyle\frac{1}{{z}^{2013}}=2$

Grosrouvre · #78

Καταρχήν ένα τεράστιο ευχαριστώ και από εμένα για την υπέροχη συλλογή και την εξαιρετική δουλειά που έχει γίνει!!!

Η άσκηση 5.576 (ελπίζω να έχω την τελευταία έκδοση της συλλογής) έχω την εντύπωση ότι πρέπει να διορθωθεί στα δεδομένα της ως:

$\left|4z - 1\right| = 1 +$ 4 $Re\left(z\right)$ (ώστε να βγαίνει παραβολή).

Μάλλον έφυγε τυπογραφικά το 4. Και πάλι ευχαριστούμε!

zorba_the_freak · #79

Σε ευχαριστώ πολύ! Το λάθος διορθώθηκε στο τεχ αρχείο και σε επόμενη ανανέωση του pdf αρχείου θα είναι οκ....

ΚΑΤΣΑΡΑΓΑΚΗΣ · #80

Απίστευτη συλλογή

Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Re: Συλλογή ασκήσεων μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση