Γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης μεταξύ μιγαδικών

thanasis kopadis · #1

Πολλά από τα θεωρήματα της επιπέδου γεωμετρίας μπορούν να αποδειχθούν με αλγεβρικές πράξεις και χρησιμοποιώντας γεωμετρικές ερμηνείες ισοτήτων μεταξύ μιγαδικών αριθμών. Ένα παράδειγμα είναι το παρακάτω:

Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1}, z_{2} , z_{3} , z_{4}$ για τους οποίους ισχύει η σχέση: $z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0$ (1).
Αφού δείξετε ότι οι εικόνες των μιγαδικών αυτών σχηματίζουν παραλληλόγραμμο, στη συνέχεια, και με τη βοήθεια της (1) , να αποδείξετε ότι οι διαγώνιοι του παραλληλογράμμου διχοτομούνται, καθώς επίσης και ότι το σημείο τομής των διαγωνίων διχοτομεί και τα ευθύγραμμα τμήματα τα οποία ενώνουν τα μέσα των απέναντι πλευρών του παραλληλογράμμου.

#2

Έστω επιπλέον ότι οι μιγαδικοί αριθμοί $z_{1}, z_{2} , z_{3} , z_{4}$ για τους οποίους ισχύει η σχέση: $z_{1}-z_{2}+z_{3}-z_{4}=0$ (1) , είναι διαφορετικοί ανά δύο .

Έστω $\displaystyle{\,\,{\rm A}\,\,,\,{\rm B}\,,\,\Gamma ,\Delta \,\,\,\,\,}$ , οι εικόνες τους στο μιγαδικό επίπεδο .Τότε από τη δοσμένη έχουμε :
$\displaystyle{\begin{array}{l} {z_1} - {z_2} + {z_3} - {z_4} = 0 \Rightarrow \,\,\,|{z_1} - {z_2}|\,\,\, = \,\,|{z_4} - {z_3}| \\ {z_1} - {z_2} + {z_3} - {z_4} = 0 \Rightarrow \,\,\,|{z_1} - {z_4}| = |{z_2} - {z_3}|\,\, \\ \end{array}}$
Αυτό σημαίνει ότι $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta \,\,\,,{\rm A}\Delta = {\rm B}\Gamma \,\,\,}$ οπότε το $\displaystyle{\,\,\,\,\,{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta \,\,\,}$ είναι παραλληλόγραμμο

Το μέσον του $\displaystyle{\,\,{\rm A}\Gamma \,\,}$ έχει διανυσματική ακτίνα $\displaystyle{\,\,\,\frac{{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} + \overrightarrow {{\rm O}\Gamma } }}{2}\,\,\,}$ ,που αντιπροσωπεύει το $\displaystyle{\,\,\,\frac{{{z_1} + {z_3}}}{2}\,\,\,}$ ενώ το μέσον του $\displaystyle{\,\,\,{\rm B}\Delta \,\,\,}$ έχει διανυσματική ακτίνα $\displaystyle{\,\,\,\frac{{\overrightarrow {{\rm O}{\rm B}} + \overrightarrow {{\rm O}\Delta } }}{2}\,\,\,}$ που αντιπροσωπεύει το $\displaystyle{\,\,\,\,\,\frac{{{z_2} + {z_4}}}{2}\,\,\,}$ .
Από τη δοσμένη έχουμε ότι $\displaystyle{\,\,\,\,\,{z_1} + {z_3} = {z_2} + {z_4}\,}$ επομένως τα μέσα ταυτίζονται , οπότε οι διαγώνιες διχοτομούνται .

Επίσης τα μέσα των απέναντι πλευρών είναι τα $\displaystyle{\,\,E\,,Z\,,\,H\,,\,\Theta \,\,}$ των οποίων οι διανυσματικές ακτίνες αντιπροσωπεύονται από τα
$\displaystyle{\,\,\,\,\,\frac{{{z_2} + {z_2}}}{2}\,\,\,,\,\,\,\,\frac{{{z_2} + {z_3}}}{2}\,\,,\,\,\,\,\frac{{{z_3} + {z_4}}}{2}\,\,,\,\,\,\,\frac{{{z_4} + {z_1}}}{2}\,\,\,\,\,}$
Τα μέσα των τμημάτων $\displaystyle{\,\,\,{\rm E}{\rm H}\,\,\,,\,\,{\rm Z}\Theta \,\,}$ έχουν διανυσματικές ακτίνες που αντιπροσωπεύονται αντίστοιχα από τα
$\displaystyle{\,\,\frac{{\frac{{{z_2} + {z_2}}}{2} + \frac{{{z_3} + {z_4}}}{2}}}{2} = \frac{{\,{z_1} + {z_3} + {z_2} + {z_4}}}{4}\,\,\,,\,\,\,\,\,\frac{{\frac{{{z_3} + {z_2}}}{2} + \frac{{{z_1} + {z_4}}}{2}}}{2} = \frac{{\,{z_1} + {z_3} + {z_2} + {z_4}}}{4}\,}$
επομένως συμπίπτουν μεταξύ τους κι αφού το μέσον του $\displaystyle{\,\,\,{\rm A}\Gamma \,\,}$ έχει διανυσματική ακτίνα που αντιπροσωπεύεται από το
$\displaystyle{\,\frac{{{z_1} + {z_2}}}{2} = \frac{{\,{z_1} + {z_3} + {z_2} + {z_4}}}{4}\,\,\,}$
έχουμε ότι τα δύο μέσα συμπίπτουν .

Γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης μεταξύ μιγαδικών

Γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης μεταξύ μιγαδικών

Re: Γεωμετρική ερμηνεία μιας σχέσης μεταξύ μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση