Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

thanasis kopadis · #1

Να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αριθμών

για τους οποίους ισχύει $\left|\frac{1-z}{1+z} \right|=\lambda$ , για όλες τις τιμές του $\lambda >0$ .

#2

Καταρχήν για ευκολία στη γραφή χρησιμοποιώ $\lambda = m>0$ .

Για $z=x+yi,x,y \in \mathbb{R}$ και με $z \neq -1 \Leftrightarrow (x,y) \neq (-1,0)$ ,

η δοσμένη σχέση ισοδύναμα γίνεται:

$\displaystyle{|1-z|=m|1+z| \Leftrightarrow (1-z)(1-\bar{z})=m^2(1+z)(1+\bar{z}) \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (m^2+1)(z+\bar{z})+(m^2-1)(1+|z|^2)=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2x(m^2+1)+(m^2-1)(1+x^2+y^2)=0 \Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (m^2-1)x^2+(m^2-1)y^2+2(m^2+1)x+(m^2-1)=0 (I)}$ .

* Αν $m\neq 1$ έχουμε:
$\displaystyle{x^2+y^2+2\frac{m^2+1}{m^2-1}x+1=0 (II)}$ .

Τότε: $\displaystyle{A^2+B^2-4C=\left(2\frac{m^2+1}{m^2-1}\right)^2-4=16\frac{m^2}{(m^2-1)^2}>0}$ ,

οπότε είναι κύκλος.

*Αν m=1

η

δίνει: $\displaystyle{x=0}$ , δηλαδή είναι ο άξονας y'y

.

BAGGP93 · #3

Καλησπέρα.

Θα πρέπει $\displaystyle{z\neq -1+0\,i}$

Για $\displaystyle{\lambda>0}$ είναι,

$\displaystyle{\begin{aligned}\left|\frac{1-z}{1+z}\right|=\lambda&\Leftrightarrow \left|1-z\right|=\lambda\left|1+z\right|\\&\Leftrightarrow \left|1-z\right|^2=\lambda^2\left|1+z\right|^2\\&\Leftrightarrow (1-z)(1-\bar{z})=\lambda^2(1+z)(1+\bar{z})\\&\Leftrightarrow 1-\bar{z}-z+\left|z\right|^2=\lambda^2+\lambda^2\,\bar{z}+\lambda^2\,z+\lambda^2\,\left|z\right|^2\\&\Leftrightarrow \left(\lambda^2-1\right)\left|z\right|^2+\left(\lambda^2+1\right)\left(z+\bar{z}\right)+\left(\lambda^2-1\right)=0\\&\Leftrightarrow \left(\lambda^2-1\right)\left|z\right|^2+2\left(\lambda^2+1\right)Re(z)+\left(\lambda^2-1\right)=0\,(I)\end{aligned}}$

Διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις για το $\displaystyle{\lambda}$

1) $\displaystyle{\lambda=1}$

Τότε, η $\displaystyle{(I)}$ δίνει $\displaystyle{4Re(z)=0\Rightarrow Re(z)=0\Rightarrow z\in Im}$

2) $\displaystyle{\lambda\in\left(0,1\right)\cup\left(1,+\infty\right)}$

Θέτουμε $\displaystyle{z=x+y\,i\,\,,x,y\in\mathbb{R}}$

Αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{(I)}$ βρίσκουμε

$\displaystyle{\begin{aligned} \left(\lambda^2-1\right)(x^2+y^2)+2\left(\lambda^2+1\right)\,x+\left(\lambda^2-1\right)=0&\Leftrightarrow (x^2+y^2)+\frac{2(\lambda^2+1)}{\lambda^2-1}\,x+1=0\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2=-1+\frac{\left(\lambda^2+1\right)^2}{\left(\lambda^2-1\right)^2}\\&\Leftrightarrow \left(x+\frac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1}\right)^2+y^2=\frac{4\lambda^2}{\left(\lambda^2-1\right)^2}\end{aligned}}$

Η παραπάνω εξίσωση παριστάνει κύκλο κέντρου $\displaystyle{K\left(-\frac{\lambda^2+1}{\lambda^2-1},0\right)}$ και ακτίνας $\displaystyle{r=\frac{2\lambda}{\left|\lambda^2-1\right|}$

Σ. Διονύσης · #4

Δε θα πρέπει και $z\neq 1$ ?

#5

Σ. Διονύσης έγραψε:Δε θα πρέπει και $z\neq 1$ ?

Αυτό δεν είναι απαίτηση για τη λύση, αφού με τις ισοδυναμίες και τις λύσεις δεν έχουμε θέμα.

Εξάλλου, ο συγκεκριμένος μιγαδικός δεν έχει εικόνα στον γεωμετρικό τόπο.

thanasis kopadis · #6

Συνάδελφοι , ευχαριστώ πολύ. Μόλις κατάφερα κι εγώ να την ολοκληρώσω (θέλω προπόνηση στο Latex).

Και για να δώσω και την πηγή της άσκησης είναι από το βιβλίο του αείμνηστου Ν. Αρτεμιάδη, "Μιγαδική Ανάλυση".

Σ. Διονύσης · #7

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:
Σ. Διονύσης έγραψε:Δε θα πρέπει και $z\neq 1$ ?
Αυτό δεν είναι απαίτηση για τη λύση, αφού με τις ισοδυναμίες και τις λύσεις δεν έχουμε θέμα.

Εξάλλου, ο συγκεκριμένος μιγαδικός δεν έχει εικόνα στον γεωμετρικό τόπο.

Kατάλαβα.Αλλά θα μπορούσε να δημιουργηθεί πρόβλημα σε άλλη άσκηση;

thanasis kopadis · #8

Αγαπητέ Σ. Διονύση. Σκέψου ότι έχουμε να λύσουμε μια κλασματική ανίσωση, για παράδειγμα μεγαλύτερη του μηδενός. Αποκλείεται ο αριθμητής να είναι μηδέν. Όμως δεν το παίρνουμε στους περιορισμούς μας, αφού δεν πρόκειται να το γράψουμε έτσι κι αλλιώς στις λύσεις της ανίσωσης. Δεν ξέρω αν το παράδειγμα που σου έδωσα είναι εύστοχο, άλλα όπως το αντιλαμβάνομαι κάτι τέτοιο συμβαίνει και εδώ.

kostas_zervos · #9

Για την ιστορία να σημειώσουμε το εξής:

: ask63.png (10.86 KiB) Προβλήθηκε 809 φορές

Αν $A(1,0)\;,\;B(-1,0)$ και

η εικόνα του

, τότε $\displaystyle \left|\frac{z-1}{z+1}\right|=\lambda\iff \frac{MA}{MB}=\lambda$ .

Αν $\lambda\neq 1$ , τότε ο γεωμετρικός τόπος του

είναι ο Απολλώνιος κύκλος , δηλαδή ο κύκλος που έχει διάμετρο το

, όπου τα $D\;,\;E$ ανήκουν στην ευθεία

και ισχύει ότι $\displaystyle \frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EB}=\lambda$ (είναι δηλαδή συζυγή αρμονικά των $A\;,\;B$ ).

Στο παραπάνω σχήμα οι $MD\;,\;ME$ είναι αντίστοιχα εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος στο $\overset{\triangle}{MAB}$ .

Αν $\lambda= 1$ , τότε MA=MB

, άρα ο γεωμετρικός τόπος είναι η μεσοκάθετος του

.

Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Re: Διερεύνηση γεωμετρικού τόπου

Μέλη σε σύνδεση