Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

thanasis kopadis

Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z,w

για τους οποίους ισχύει ότι:
$5z^6+4\bar{z}^6=9$ και $\frac{1}{w-1}+\frac{1}{w-2}+\frac{1}{w-3}+\frac{1}{w-4}+\frac{1}{w-5}=1$ .
α) Να αποδείξετε ότι $\bar{z}=\frac{1}{z}$ και $\bar{w}=w$
β) Αν $\left|z-wi \right|=\left|z-(1-w)i \right|$ , να βρείτε τον μιγαδικό

γ) Να λύσετε την εξίσωση $z^9\bar{z}^5=1$
δ) Να βρείτε το μέτρο του μιγαδικού αριθμού $u=\frac{w\left|z \right|^2+3zi}{wzi+3}$

gradion

1) παίρνω συζυγείς στις δύο σχέσεις και αφαιρώ τις αντίστοιχες οπότε εύκολα

βρίσκω $(\bar{z})^{^6}=z^{6}\Rightarrow 9z^{6}=9(\bar{z})^{6}=9\Rightarrow$ απο την σχέση που δίνεται

$z^{6}=1, (\bar{z})^{6}=1\Rightarrow |z|=1,\bar{z}=1/z$

και $(\bar{w}-w)(\cfrac{1}{|w-1|^{2}}+\cfrac{1}{|w-2|^{2}}+...)=0\Rightarrow \bar{w}=w,w\in \mathbb R$

2)αφού $w=k\in \mathbb R \Rightarrow |z-ki|=|z-((1-k)i|\Rightarrow z=x+yi, ....(2y-1)(2k-1)=0\Rightarrow$

y=1/2

, γιατί $k\neq 1/2$

και αυτη η παρ'αλληλη τέμνει τον μοναδιαίο κύκλο στα $A( \cfrac{\sqrt{3}}{2},1/2),B(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}},1/2)$ Z

3) απο την 1) $z^{9}(1/z)^{5}=1\Rightarrow z^{4}=1\Rightarrow z =\pm 1,z=\pm i$

gradion

4) $\bar{u}=\cfrac{k-3(\bar{z})i}{-k(\bar{z})i+3}=\cfrac{k-3i/z}{-ki/z+3}=$

$=\cfrac{kz-3i}{-ki+3z}=\cfrac{kz-3i}{-i(k+3z/(-i)}=\cfrac{kz-3i}{-i(k+3zi)}=$

$=\cfrac{-i(kzi+3)}{-i(k+3zi)}=\cfrac{1}{u}\Rightarrow \bar{u}=1/u, u(\bar{u})=1, |u|=1$

Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Re: Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Re: Πρωτότυπο Θέμα Μιγαδικών

Μέλη σε σύνδεση