Μιγαδικοί

Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης

konkyr
Δημοσιεύσεις: 312
Εγγραφή: Τετ Ιούλ 29, 2009 5:31 pm

Μιγαδικοί

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από konkyr » Τρί Οκτ 08, 2013 3:55 pm

Καλησπέρα :logo: .

Δίνονται οι μιγαδικοί z=x+yi, w και u που ικανοποιούν τις σχέσεις :

w=z+x

|w|=2 και

|u|=3.

ι)Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του z.

ii)Να δείξετε ότι 1\leq|z-u|\leq5.

ιιi)Αν z_{1}, z_{2} δύο από τους παραπάνω μιγαδικούς z με |z_{1}+z_{2}|=\sqrt{3} να δείξετε ότι 1\leq|z_{1}-z_{2}|\leq\sqrt{13}.

iv)Να δείξετε ότι : |z^{2}+3|=5-|z|^{2}

v)Nα βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών v για τους οποίους ισχύει :2v=2z^{2}+3

(από τη νέα έκδοση του Μπάρλα)
τελευταία επεξεργασία από Πρωτοπαπάς Λευτέρης σε Τρί Οκτ 08, 2013 4:43 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λόγος: Διόρθωση κώδικα Latex.


xr.tsif
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1989
Εγγραφή: Τρί Δεκ 23, 2008 7:14 pm

Re: Μιγαδικοί

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από xr.tsif » Τρί Οκτ 08, 2013 9:15 pm

ΚΑΛΩΣ ΤΗΝ


Γιατί πάντα αριθμόν έχοντι. Άνευ τούτου ουδέν νοητόν και γνωστόν.
KAKABASBASILEIOS
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1538
Εγγραφή: Κυρ Φεβ 01, 2009 1:46 pm

Re: Μιγαδικοί

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από KAKABASBASILEIOS » Τετ Οκτ 09, 2013 12:44 am

...μιά αντιμετώπιση των τεσσάρων ερωτημάτων...

i) Είναι w=z+x άρα w=2x+yi και επειδή |w|=2 θα είναι

|2x+yi|=2\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}+{{y}^{2}}=4\Leftrightarrow \frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1που σημαίνει ότι η εικόνα του z

είναι σημείο έλλειψης με κορυφές {A}'(0,\,\,-2),\,\,\,A(0,\,\,2) και {B}'(-1,\,\,0),\,\,\,B(1,\,\,0).

ii) Ισχύ λόγω της τριγωνικής ||z|-|u||\le |z-u|\le |z|+|u| και αφού |u|=3 θα ισχύει ότι ||z|-3|\le |z-u|\le |z|+3 και επειδή

\max |z|=2 όταν η εικόνα του z είναι σε μία από τις κορυφές {A}'(0,\,\,-2),\,\,\,A(0,\,\,2) ισχύει ότι |z-u|\le |z|+3\le 2+3=5

και ακόμη |2-3|\le ||z|-3|\Leftrightarrow 1\le ||z|-3| και τελικά ισχύει ότι 1\leq|z-u|\leq5

iii) Από |z_{1}+z_{2}|=\sqrt{3} έχουμε ότι

|{{z}_{1}}+{{z}_{2}}{{|}^{2}}=3\Leftrightarrow |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}+2R\,e\,(z)=3\Leftrightarrow 2R\,e\,({{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}})=3-|{{z}_{1}}{{|}^{2}}-|{{z}_{2}}{{|}^{2}}(1)

Τώρα από 1\leq|z_{1}-z_{2}|\leq\sqrt{13} αρκεί να δείξουμε ότι

1\le |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}-2R\,e\,({{z}_{1}}{{\bar{z}}_{2}})\le 13 και λόγω (1) αρκεί

1\le |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}-3+|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}\le 13 ή

4\le 2|{{z}_{1}}{{|}^{2}}+2|{{z}_{2}}{{|}^{2}}\le 16\Leftrightarrow 2\le |{{z}_{1}}{{|}^{2}}+|{{z}_{2}}{{|}^{2}}\le 8

που ισχύει γιατί 1\le |{{z}_{1}}|\le 2,\,\,\,1\le |{{z}_{2}}|\le 2 επειδή οι εικόνες των μιγαδικών

ανήκουν στην έλλειψη \frac{{{x}^{2}}}{1}+\frac{{{y}^{2}}}{4}=1

iv) Οι εστίες της έλλειψης είναι {E}'(0,\,\,-\sqrt{3}),\,\,\,E(0,\,\,\sqrt{3}) αφού

{{\gamma }^{2}}={{\alpha }^{2}}-{{\beta }^{2}}=3\Leftrightarrow \gamma =\sqrt{3}και αν M(z) σημείο της έλειψης σύμφωνα με τον ορισμό της ισχύει ότι

M{E}'+ME=2\alpha ή |z+i\sqrt{3}|+|z-i\sqrt{3}|=4 στο τετράγωνο προκύπτει ότι

|z+i\sqrt{3}{{|}^{2}}+|z-i\sqrt{3}{{|}^{2}}+2|z+i\sqrt{3}||z-i\sqrt{3}|=16\Leftrightarrow 2|z{{|}^{2}}+2\cdot 3+2|{{z}^{2}}+3|=16

άρα ισχύει |z^{2}+3|=5-|z|^{2}

iv) :ewpu:iv) Είναι 2v=2{{z}^{2}}+3\Leftrightarrow 2v-3=2{{z}^{2}}\Leftrightarrow v-\frac{3}{2}={{z}^{2}} άρα και

|v-\frac{3}{2}|=|z{{|}^{2}} και επειδή ισχύει ότι 1\le |z|\le 2\Leftrightarrow 1\le |z{{|}^{2}}\le 4 θα ισχύει ότι 1\le |v-\frac{3}{2}|\le 4

που σημαίνει ότι η εικόνα του v ανήκει στον κυκλικό δίσκο που ορίζουν οι κύκλοι κέντρου

K(\frac{3}{2},\,0) και ακτινών {{r}_{1}}=1,\,\,{{r}_{2}}=4
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 8102013.jpg
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ 8102013.jpg (13.62 KiB) Προβλήθηκε 558 φορές
Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης


f ανοιγοντας τους δρομους της Μαθηματικης σκεψης, f' παραγωγος επιτυχιας
Τα Μαθηματικά είναι απλά...όταν σκέπτεσαι σωστά...
Τα Μαθηματικά είναι αυτά...για να δεις πιό μακρυά...
Τα Μαθηματικά είναι μαγεία...όταν έχεις φαντασία...
Άβαταρ μέλους
gian7
Δημοσιεύσεις: 192
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 11, 2011 2:52 pm
Τοποθεσία: Άθηνα
Επικοινωνία:

Re: Μιγαδικοί

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από gian7 » Τετ Οκτ 09, 2013 1:33 am

Λύνω το \displaystyle{iii}
Είναι γνωστό ότι είναι:
\displaystyle{|z_1 + z_2|^2 + |z_1 - z_2|^2 = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 \Leftrightarrow  
|z_1 - z_2|^2 = 2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 - 3}
H ποσότητα \displaystyle{2|z_1|^2 + 2|z_2|^2 - 3} γίνεται ελάχιστη όταν τα \displaystyle{|z_1|} και \displaystyle{|z_2|} παίρνουν την ελάχιστη τιμή τους δηλαδή για \displaystyle{|z_1|=|z_2|=1}, οπότε \displaystyle{|z_1 - z_2|_{min}^{2} = 1 \Rightarrow \boxed{|z_1 - z_2|_{min}=1}}
Aνάλογα η μέγιστη τιμή επιτυγχάνεται για \displaystyle{|z_1|=|z_2|=2} οπότε \displaystyle{\boxed{{|z_1-z_2|_{max}=\sqrt{13}}}} και το ζητούμενο αποδείχθηκε.


Γιαννης Μπαρουμας

Empty your mind, be formless, shapeless — like water. Now you put water in a cup, it becomes the cup; You put water into a bottle it becomes the bottle; You put it in a teapot it becomes the teapot. Now water can flow or it can crash. Be water, my friend. Bruce Lee
Άβαταρ μέλους
ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ
Δημοσιεύσεις: 704
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 17, 2009 7:07 pm
Τοποθεσία: ΚΑΒΑΛΑ

Re: Μιγαδικοί

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΧΡΗΣΤΟΣ ΚΑΡΔΑΣΗΣ » Τετ Οκτ 09, 2013 9:40 am

Καλημέρα σε όλους .
Νομίζω ότι τελικά στο iii) ερώτημα δεν μπορεί να ισχύουν οι ισότητες .
Οι μιγαδικοί που τις πετυχαίνουν έχουν εικόνες τα σημεία A,A' και B,B' και δεν επαληθεύουν την ισότητα \left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\sqrt{3}


Χρήστος Καρδάσης
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 7 επισκέπτες