Μιγαδικοί 109

mathxl · #1

Για τους μιγαδικούς αριθμούς

και

να αποδείξετε ότι: $\left| {{z^2}} \right|w - {\left| w \right|^2}z = z - w$ αν και μόνο αν z = w

ή $z\bar w = 1$ .

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Η δοσμένη γράφεται $zw\left(\overline{z}-\overline{w}\right)=z-w$ . Παίρνουμε συζυγείς και στα δύο μέλη και πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη για να καταλήξουμε στην

|zw|^2|z-w|^2=|z-w|^2

απ' όπου

ή

Αν

τότε

.

Αν

τότε πολλαπλασιάζουμε την αρχική με $\overline{w}$ και γίνεται $1-|w|^2z\overline{w}=z\overline{w}-|w|^2$ δηλαδή $(1-z\overline{w})(1+|w|^2)=0$ απ' όπου τελικά έχουμε $z\overline{w}=1$ .

Αλέξανδρος

PanosG · #3

Η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{z\bar z w -w \bar w z -z +w=0\Leftrightarrow z(\bar z w-1)-w(z\bar w -1)=0 \quad \boxed{1}}$

Παίρνοντας συζυγή στην τελευταία έχουμε:

$\displaystyle{\bar z(z\bar w-1)-\bar w(\bar z w -1)=0\Rightarrow \bar z w -1=\frac{\bar z(z \bar w-1)}{\bar w}}$

Αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{\boxed{1}}$ έχουμε:

$\displaystyle{z \frac{\bar z(z \bar w-1)}{\bar w} -w(z\bar w -1)=0\Rightarrow z \bar z (z \bar w -1)-w\bar w(z\bar w-1)=0\Rightarrow}$

$\displaystyle{(z\bar w-1)(z\bar z-w \bar w)=0}$

Από όπου έχουμε $\displaystyle{z\bar w=1}$ ή $\displaystyle{\,\, |z|=|w|}$
Αν ισχύει $\displaystyle{\,\, |z|=|w|}$ τότε η δοσμένη γίνεται:

$\displaystyle{(w-z)(|z|^2+1)=0$ άρα z=w

mathxl · #4

PanosG έγραψε:Η δοσμένη σχέση γίνεται:

$\displaystyle{z\bar z w -w \bar w z -z +w=0\Leftrightarrow z(\bar z w-1)-w(z\bar w -1)=0 \quad \boxed{1}}$

Παίρνοντας συζυγή στην τελευταία έχουμε:

$\displaystyle{\bar z(z\bar w-1)-\bar w(\bar z w -1)=0\Rightarrow \bar z w -1=\frac{\bar z(z \bar w-1)}{\bar w}}$

Αντικαθιστώντας στην $\displaystyle{\boxed{1}}$ έχουμε:

$\displaystyle{z \frac{\bar z(z \bar w-1)}{\bar w} -w(z\bar w -1)=0\Rightarrow z \bar z (z \bar w -1)-w\bar w(z\bar w-1)=0\Rightarrow}$

$\displaystyle{(z\bar w-1)(z\bar z-w \bar w)=0}$

Από όπου έχουμε $\displaystyle{z\bar w=1}$ ή $\displaystyle{\,\, |z|=|w|}$
Αν ισχύει $\displaystyle{\,\, |z|=|w|}$ τότε η δοσμένη γίνεται:

$\displaystyle{(w-z)(|z|^2+1)=0$ άρα

Στην

αντί να βάλουμε συζυγή στα μέλη κτλ μπορούμε να μετακινήσουμε τον δεύτερο όρο στο β μέλος και να βάλουμε μέτρα κτλ

Μιγαδικοί 109

Μιγαδικοί 109

Re: Μιγαδικοί 109

Re: Μιγαδικοί 109

Re: Μιγαδικοί 109

Μέλη σε σύνδεση