μιγαδικοί+γεωμετρια 4
Συντονιστής: Πρωτοπαπάς Λευτέρης
μιγαδικοί+γεωμετρια 4
Τα άπειρα σημεία του επιπέδου είναι εικόνες των μιγαδικών . Αν ισχύει : τότε να δείξετε ότι τα είναι όλα συνευθειακά
Λέξεις Κλειδιά:
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: μιγαδικοί+γεωμετρια 4
Πρόκειται για γνωστό θεώρημα των Erdős–Anning.
Έστω το σύνολο των σημείων με τη δοσμένη ιδιότητα. Υποθέτουμε ότι το περιέχει τρία μη συνευθειακά σημεία Θέτουμε Από την υπόθεση, ο είναι θετικός ακέραιος.
Έστω τυχαίο σημείο Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι δηλαδή
Αυτό, όμως, σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ή σε μια από τις υπερβολές με εστίες και σταθερή διαφορά
Όμοια, βρίσκουμε ότι το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ή σε μια από τις υπερβολές με εστίες και σταθερή διαφορά
Μια υπερβολή με εστίες μπορεί να τέμνει μια υπερβολή με εστίες σε το πολύ σημεία (οι υπερβολές είναι διαφορετικές γιατί έχουν διαφορετικό μεγάλο άξονα). Άρα, τα σημεία τομής των γραμμών στις οποίες ανήκει το σημείο είναι το πολύ Έτσι, το σύνολο έχει το πολύ στοιχεία, πράγμα άτοπο.
Ώστε, όλα τα σημεία του συνόλου είναι συνευθειακά.
Έστω το σύνολο των σημείων με τη δοσμένη ιδιότητα. Υποθέτουμε ότι το περιέχει τρία μη συνευθειακά σημεία Θέτουμε Από την υπόθεση, ο είναι θετικός ακέραιος.
Έστω τυχαίο σημείο Από την τριγωνική ανισότητα έχουμε ότι δηλαδή
Αυτό, όμως, σημαίνει ότι το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ή σε μια από τις υπερβολές με εστίες και σταθερή διαφορά
Όμοια, βρίσκουμε ότι το σημείο ανήκει στη μεσοκάθετο του τμήματος ή σε μια από τις υπερβολές με εστίες και σταθερή διαφορά
Μια υπερβολή με εστίες μπορεί να τέμνει μια υπερβολή με εστίες σε το πολύ σημεία (οι υπερβολές είναι διαφορετικές γιατί έχουν διαφορετικό μεγάλο άξονα). Άρα, τα σημεία τομής των γραμμών στις οποίες ανήκει το σημείο είναι το πολύ Έτσι, το σύνολο έχει το πολύ στοιχεία, πράγμα άτοπο.
Ώστε, όλα τα σημεία του συνόλου είναι συνευθειακά.
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης