Προσοχή στις κακοτοπιές!

#1

Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - x} } }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 0}$ .

Tolaso J Kos · #2

george visvikis έγραψε:Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - x} } }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 0}$ .

Καλησπέρα,
Καταρχάς θα βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Πρέπει $\displaystyle{x^2-x\geq 0\Leftrightarrow x(x-1)\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty , 0]\cup [1, +\infty )}$ και $\displaystyle{x-\sqrt{x^2-x}\geq 0\Leftrightarrow x\geq 0 }$ . Άρα η

ορίζεται στο $\displaystyle{\Delta =[1, +\infty )\cup \left \{ 0 \right \}}$ και επειδή το μηδέν είναι μεμονωμένο σημείο του πεδίου ορισμού της, δεν έχει νόημα η έννοια της συνέχειας.

Πολύ ωραία άσκηση, για την κατανόηση της συνέχειας.

Τόλης

Edit: Διορθώθηκε μία αβλεψία η οποία έγινε από υπερβολική βιασύνη. Ευχαριστώ τον κ. Γιώργο που μου το επισήμανε.

#3

Tolaso J Kos έγραψε:
george visvikis έγραψε:Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - x} } }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 0}$ .
Καλησπέρα,
Καταρχάς θα βρούμε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης.
Πρέπει $\displaystyle{x^2-x\geq 0\Leftrightarrow x(x-1)\geq 0\Leftrightarrow x\in (-\infty , 0]\cup [1, +\infty )}$ και $\displaystyle{x-\sqrt{x^2-x}\geq 0\Leftrightarrow x\geq 0 }$ . Άρα η συναλήθευση μας δίνει ότι $\displaystyle{A_f=[1, +\infty )}$ . Άρα η δεν ορίζεται στο και οπότε δεν έχει νόημα να μιλάμε για συνέχεια.

Πολύ ωραία άσκηση, για την κατανόηση της συνέχειας.

Τόλης

Για την ακρίβεια $\displaystyle{{A_f} = [1, + \infty ) \cup \{ 0\} }$ . Η συνάρτηση ορίζεται στο μηδέν, αλλά είναι μεμονωμένο σημείο του πεδίου ορισμού της και δεν έχει νόημα να μιλάμε για όριο.

Φιλικά Γιώργος

Tolaso J Kos · #4

george visvikis έγραψε: Για την ακρίβεια $\displaystyle{{A_f} = [1, + \infty ) \cup \{ 0\} }$ . Η συνάρτηση ορίζεται στο μηδέν, αλλά είναι μεμονωμένο σημείο του πεδίου ορισμού της και δεν έχει νόημα να μιλάμε για όριο.

Φιλικά Γιώργος

Σωστά,
από τη βιασύνη μου έγραψα λάθος. Το διορθώνω αμέσως.
Κ. Γιώργο ας μου επιτραπεί να προσθέσω ακόμα ένα ερώτημα στην πολύ ωραία αυτή άσκηση.

ii Να δειχθεί ότι η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[1, +\infty )}$ και να βρεθεί το σύνολο τιμών. (χωρίς παραγώγους)

#5

Αφού είμαστε σε φάκελλο της Γ΄Λυκείου να σημειώσουμε ότι σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο ασχολούμαστε μόνο με συναρτήσεις που ορίζονται σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων . Επίσης , το βιβλίο της Γ΄Λυκείου δεν θεωρεί ότι το $\displaystyle{\,\left\{ {\rm{\alpha }} \right\}\,\,}$ είναι διάστημα .

Tolaso J Kos · #6

exdx έγραψε:Αφού είμαστε σε φάκελλο της Γ΄Λυκείου να σημειώσουμε ότι σύμφωνα με το σχολικό βιβλίο ασχολούμαστε μόνο με συναρτήσεις που ορίζονται σε διάστημα ή ένωση διαστημάτων . Επίσης , το βιβλίο της Γ΄Λυκείου δεν θεωρεί ότι το $\displaystyle{\,\left\{ {\rm{\alpha }} \right\}\,\,}$ είναι διάστημα .

Ναι, η ερώτηση δεν ήταν σαφής. Εννοούσα να βρεθεί το σύνολο τιμών της στο διάστημα $\displaystyle{[1, +\infty )}$ , ώστε να είμαστε στην ύλη της Γ' Λυκείου. Τώρα για το μονοσύνολο είναι απλό να βρεθεί η εικόνα του.

Συγνώμη για την ασάφεια!

Τόλης

#7

george visvikis έγραψε:Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - x} } }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 0}$ .

Tolaso J Kos έγραψε:ii Να δειχθεί ότι η είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[1, +\infty )}$ και να βρεθεί το σύνολο τιμών. (χωρίς παραγώγους)

Ενδιαφέρον! Επαναφορά!

Μπουμπουλής Κώστας · #8

Εγώ επ΄ ευκαιρία θα ήθελα να ρωτήσω αν ορίζεται συνέχεια σε μεμονωμένα σημεία. Σύμφωνα με ένα παλιό βιβλίο του Βαγγέλη Σπανδάγου (που έχω από όταν ήμουν μαθητής) οι συναρτήσεις είναι συνεχείς σε μεμονωμένα σημεία του πεδίου ορισμού τους. Δε μπόρεσα να βρώ όμως κάτι τέτοιο σε κάποια πανεπιστημιακά που έχω. Παρακαλώ να με φωτίσει κάποιος.

Tolaso J Kos · #9

Μπουμπουλής Κώστας έγραψε:Εγώ επ΄ ευκαιρία θα ήθελα να ρωτήσω αν ορίζεται συνέχεια σε μεμονωμένα σημεία. Σύμφωνα με ένα παλιό βιβλίο του Βαγγέλη Σπανδάγου (που έχω από όταν ήμουν μαθητής) οι συναρτήσεις είναι συνεχείς σε μεμονωμένα σημεία του πεδίου ορισμού τους. Δε μπόρεσα να βρώ όμως κάτι τέτοιο σε κάποια πανεπιστημιακά που έχω. Παρακαλώ να με φωτίσει κάποιος.

Καλημέρα,
βεβαίως και ορίζεται. Κάθε συνάρτηση είναι συνεχής σε μεμονωμένα σημεία του πεδίο ορισμού. Για παράδειγμα η συνάρτηση του παραδείγματος είναι συνεχής στο $\displaystyle{x_0=0}$ . Δεν ορίζεται όμως το όριο στο σημείο αυτό, και γενικά σε κάθε μεμονωμένο σημείο. Δηλαδή δε μπορούμε να πούμε πως αν μία συνάρτηση είναι συνεχής σε ένα σημείο $\displaystyle{x_0}$ θα είναι $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)}$ . Εξάλλου ο ορισμός της συνέχειας σύμφωνα με το πανεπιστήμιο λέει το εξής:

$\displaystyle{\left ( \forall \epsilon >0 \right )\left ( \exists \delta >0 \right )\left ( \forall x \in A_f\right )\, \, \, \left | x-x_0 \right |< \delta \Rightarrow \left | f(x)-f(x_0) \right |<\epsilon }$ . Για το $\displaystyle{x=x_0}$ ικανοποιείται ο ορισμός και η $\displaystyle{f}$ είναι συνεχής εξ' ορισμού.

Υ.Σ: (συμπλήρωση αργότερα) Ότι γράφτηκε παραπάνω, ισχύει μόνο για το πανεπιστήμιο. Για το λύκειο δεν υπάρχει θέμα καθώς το σχολικό βιβλίο δεν ορίζει συνέχεια σε μεμονωμένα σημεία.

Τόλης

#10

george visvikis έγραψε:Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - x} } }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 0}$ .

Γιώργο, καλημέρα !

- Η ερώτηση ,από διδακτική άποψη , είναι καλή, κυρίως στο σκέλος για την εύρεση του πεδίου ορισμού και τη δημιουργία προβληματισμού.

- Ο μαθητής που θα ''βρει βιαστικά ''το σχετικό όριο , θα έχει μεν απαντήσει σωστά ως προς το ΝΑΙ, θα έχει απαντήσει όμως με λάθος τρόπο, οπότε τελικά θα αποκομίσει και κάτι θετικό, αν και δεν θα του είναι άμμεσα αξιοποίησιμο στη σχολική του ζωή.

- Η ερώτηση , αυτή καθεαυτή, δεν μπορεί να δοθεί στην Γ' Λυκείου ούτε ως άσκηση ούτε ως υπορερώτημα στις εξετάσεις,αφού ο μαθητής δεν κατέχει το απαραίτητο θεωρητικό υπόβαθρο για να την αντιμετωπίσει.Μπορεί όμως να κουβεντιαστεί δημιουργικά σε μια καλή τάξη , αν υπάρξει χρονικό κενό, ώστε ο καθηγητής να θίξει και άλλες πλευρές των μαθηματικών , που ο μαθητής θα συναντήσει στις Πανεπιστημιακές του σπουδές .

- Το θέμα το έχουμε ξανακουβεντιάσει παλιότερα εδώ στο mathematica, αλλά είναι καλό που ξανατέθηκε

, γιατι μόνο ωραία συμπεράσματα μπορεί να προκύψουν .

Μπάμπης

Καλές Γιορτές !

Tolaso J Kos · #11

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:

- Η ερώτηση , αυτή καθεαυτή, δεν μπορεί να δοθεί στην Γ' Λυκείου ούτε ως άσκηση ούτε ως υπορερώτημα στις εξετάσεις.

Μπάμπης

κ. Μπάμπη καλημέρα.
Μη ξεχνάτε όμως στην Ελλάδα δεν έχουμε μόνο σχολεία, αλλά και φροντιστήρια. Το συγκεκριμένο παράδειγμα που έθεσε ο κ. Γιώργος το έχω δει σε πολλές φροντιστηριακές ασκήσεις / σημειώσεις συμπεριλαμβανομένου και τις δικές μου όταν ακόμα ήμουν στο Λύκειο.

Συγκεκριμένα μετά την έννοια της συνέχειας ότι μία συνάρτηση είναι συνεχής όταν $\displaystyle{ \lim_{x\rightarrow x_0}f(x)=f(x_0)}$ όπου το $\displaystyle{x_0}$ ανήκει σε ένα σύνολο και δεν είναι μεμονωμένο, μας έβαλε το παράδειγμα του κ. Γιώργου για να μας δείξει ότι μπορεί να ορίζεται σε ένα σημείο αλλά να μην υπάρχει το όριο και κατά συνέπεια (για το λύκειο πάντα) να μην είναι συνεχής.

Και ακολούθησαν και άλλα παραδείγματα πότε έχει νόημα το όριο, πότε δεν έχει.

Συμφωνώ όμως με το 2ο ότι δε πρόκειται να το δούμε σε πανελλήνιες. Ίσως όχι ως άσκηση, θα μπορούσε όμως να μπει ως θεωρία στο Σ - Λ ;

Καλές γιορτές σε όλους!
Τόλης

Christos.N · #12

socrates έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε:ii Να δειχθεί ότι η είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[1, +\infty )}$ και να βρεθεί το σύνολο τιμών. (χωρίς παραγώγους)
Ενδιαφέρον! Επαναφορά!

Να το δείξουμε ναι,

Θα δείξουμε ότι είναι 1-1

Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in [1, + \infty )}$

$\displaystyle{ \begin{array}{l} f(x_1 ) = f(x_2 ) \Rightarrow \sqrt {x_1 - \sqrt {x_1 ^2 - x_1 } } = \sqrt {x_2 - \sqrt {x_2 ^2 - x_2 } } \Rightarrow \\ x_1 - \sqrt {x_1 ^2 - x_1 } = x_2 - \sqrt {x_2 ^2 - x_2 } \Rightarrow x_1 - x_2 = \sqrt {x_1 ^2 - x_1 } - \sqrt {x_2 ^2 - x_2 } \Rightarrow \\ x_1 ^2 + x_2 ^2 - 2x_1 x_2 = x_1 ^2 - x_1 + x_2 ^2 - x_2 - 2\sqrt {x_1 ^2 - x_1 } \sqrt {x_2 ^2 - x_2 } \Rightarrow \\ 2x_1 x_2 - x_1 - x_2 = 2\sqrt {x_1 ^2 - x_1 } \sqrt {x_2 ^2 - x_2 } \Rightarrow \\ 4x_1 ^2 x_2 ^2 + x_1 ^2 + x_2 ^2 - 4x_1 ^2 x_2 - 4x_1 x_2 ^2 + 2x_1 x_2 = 4x_1 ^2 x_2 ^2 - 4x_1 ^2 x_2 - 4x_1 x_2 ^2 + 4x_1 x_2 \Rightarrow \\ (x_1 - x_2 )^2 = 0 \Rightarrow x_1 = x_2 \\ \end{array} }$

Είναι 1-1

είναι και συνεχής στο $\displaystyle{ \in [1, + \infty )}$ άρα γνησίως μονότονη.

Η μονοτονία της προκύπτει συγκρίνοντας τις τιμές $\displaystyle{f(1),f\left( {\frac{3}{2}} \right)}$

$\displaystyle{ f\left( {\frac{3}{2}} \right) = \sqrt {\frac{3}{2} - \sqrt {\frac{9}{4} - \frac{3}{2}} } = \sqrt {\frac{3}{2} - \sqrt {\frac{3}{4}} } = \sqrt {\frac{1}{2}(3 - \sqrt 3 )} < \sqrt {\frac{1}{2}(3 - 1)} = 1 = f(1) }$

συνεπώς είναι γνησίως φθίνουσα.

Το σύνολο τιμών της είναι το $\displaystyle{\left( {\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x),f(1)} \right]}$

όπου

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {x - \sqrt {x^2 - x} } = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{x}{{x + \sqrt {x^2 - x} }}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{x}{{x\left( {1` + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right)}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {\frac{1}{{1` + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }}} = \frac{\sqrt{2}}{2} }$

Άρα το $\displaystyle{\left( {\frac{\sqrt{2}}{2},1} \right]}$

Μπορούμε να το δείξουμε στη συνέχεια και με παραγώγους;

Υ.Γ.: Διόρθωσα ένα τυπογραφικό λάθος.

parmenides51 · #13

παλιότερα είχαμε δει αυτό

Tolaso J Kos · #14

Christos.N έγραψε:
Μπορούμε να το δείξουμε στη συνέχεια και με παραγώγους;

Έσβησα την απόδειξη καθώς όπως επισήμανε ο κ. Μιχάλης υπήρχε ένα σοβαρό λογικό σφάλμα. Τον ευχαριστώ πολύ.

Με παραγώγους θα το προσπαθήσω.... και θα επανέλθω αν βγάλω κάτι. Αλλά το βλέπω λίγο δύσκολο.

Tolaso J Kos · #15

Christos.N έγραψε:
Μπορούμε να το δείξουμε στη συνέχεια και με παραγώγους;

george visvikis έγραψε:Να εξεταστεί αν η συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \sqrt {x - \sqrt {{x^2} - x} } }$ είναι συνεχής στο $\displaystyle{{x_0} = 0}$ .

Tolaso J Kos έγραψε:ii Να δειχθεί ότι η είναι γνήσια φθίνουσα στο $\displaystyle{[1, +\infty )}$ και να βρεθεί το σύνολο τιμών. (χωρίς παραγώγους)

Θα δώσω ότι έχω κάνει μέχρι τώρα. κ. Χρήστο να πω ότι δυσκολεύομαι αρκετά..

Παρατηρώ ότι στο $\displaystyle{(1, +\infty )}$ η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη με
$\displaystyle{f'(x)=\left ( \sqrt{x-\sqrt{x^2-x}} \right )'=\frac{1-\displaystyle{\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x^2-x}}}=...=\frac{2\sqrt{x^2-x}-2x+1}{2\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-x}}}, \, \, \, x>1}$

Μετά θεώρησα συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=2\sqrt{x^2-x}-2x+1}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{g'(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x}}-2=\frac{2\left ( x-\sqrt{x^2-x} \right )}{\sqrt{x^2-x}}}$ . Και έπειτα θεώρησα την $\displaystyle{h(x)=x-\sqrt{x^2-x}}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη και μετά βλέπω ότι δε πρόκειται να ξεμπλέξω ποτέ από τις ρίζες.

Ίσως να μην έπρεπε να πάω έτσι.. Για αυτό όποια βοήθεια δεκτή.
Καλές σας γιορτές....

Τόλης

#16

Tolaso J Kos έγραψε:
Christos.N έγραψε:
Είναι είναι και συνεχής στο $\displaystyle{ \in [1, + \infty )}$ άρα γνησίως μονότονη.
[/tex]

Μπορούμε να το δείξουμε στη συνέχεια και με παραγώγους;
Να δώσω την απόδειξη για αυτή τη πρόταση. Η απόδειξη είναι απλή:
$\displaystyle{"}$ Αρκεί να αποδείξω για οποιαδήποτε $\displaystyle{a, b, c\in \Delta =[1, +\infty )}$ με $\displaystyle{a<b<c}$ θα είναι ή $\displaystyle{f(a)<f(b)<f(c)}$ ή $\displaystyle{f(c)<f(b)<f(a)}$ .

Μόνο που η απόδειξη που δίνεις έχει ένα σοβαρό λογικό σφάλμα: Κάπου υπάρχη επιφανειακή επεξεργασία των ποσοδεικτών.

Έδειξες ότι αν a<b<c

τότε ισχύει ένα από τα δύο: $\displaystyle{f(a)<f(b)<f(c)}$ ή $\displaystyle{f(c)<f(b)<f(a)}$ . Μέχρι εδώ σωστά.

Ας πούμε ότι για κάποια συγκεκριμένη τριάδα (a, b, c)

ισχύει η αριστερή. Τι σου εξασφαλίζει (πάντα σύμφωνα με την απόδειξή σου) ότι για κάποια άλλη τριάδα (a', b', c')

δεν ισχύει η δεξιά;

Δεν θα γράψω απόδειξη γιατί είναι ρουτίνα και βρίσκεται σε όλα τα βιβλία Ανάλυσης. Και για να μην κάνουμε τα εύκολα δύσκολα, το ζητούμενο είναι σχεδόν άμεσο (πώς;) από την αντίστοιχη χιλιοειπωμένη ιδιότητα για (πεπερασμένου μήκους) διαστήματα της μορφής [1,M]

στη θέση του απειροδιαστήματος $\displaystyle{ \in [1, + \infty )}$ .

Μ

Christos.N · #17

Tolaso J Kos έγραψε: .. να πω ότι δυσκολεύομαι αρκετά..
Τόλης

Αποστόλη δεν είναι καθόλου εύκολο θέμα αν πας κατά μέτωπο ,ένας πλάγιος τρόπος με χρήση παραγώγων.

θεωρούμε $\displaystyle{h(x) = x - \sqrt {x^2 - x} ,x \ge 1}$

τότε

$\displaystyle{ h'(x) = 1 - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {x^2 - x} }} = 1 - \frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 - \frac{1}{4}} }} < 1 - \frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 } }} = 1 - 1 = 0 \Rightarrow h'(x) < 0, x>1 }$

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα για $\displaystyle{x \ge 1}$ ενώ η $\displaystyle{g(x) = \sqrt x ,x \ge 0}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Η σύνθεση $\displaystyle{g \circ h}$ ορίζεται για κάθε $\displaystyle{x \ge 1}$ και ισχύει ότι $\displaystyle{g \circ h(x) = f(x)}$ .

Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in [1, + \infty )}$ τότε

$\displaystyle{ x_1 < x_2 \Rightarrow h(x_1 ) > h(x_2 ) \Rightarrow g(h(x_1 )) > g(h(x_2 )) \Rightarrow f(x_1 ) > f(x_2 ) }$

Άρα η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Tolaso J Kos · #18

Christos.N έγραψε:
Tolaso J Kos έγραψε: .. να πω ότι δυσκολεύομαι αρκετά..
Τόλης
Αποστόλη δεν είναι καθόλου εύκολο θέμα αν πας κατά μέτωπο ,ένας πλάγιος τρόπος με χρήση παραγώγων.

θεωρούμε $\displaystyle{h(x) = x - \sqrt {x^2 - x} ,x \ge 1}$

τότε

$\displaystyle{ h'(x) = 1 - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {x^2 - x} }} = 1 - \frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 - \frac{1}{4}} }} < 1 - \frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 } }} = 1 - 1 = 0 \Rightarrow h'(x) < 0, x>1 }$

Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα για $\displaystyle{x \ge 1}$ ενώ η $\displaystyle{g(x) = \sqrt x ,x \ge 0}$ είναι γνησίως αύξουσα.

Η σύνθεση $\displaystyle{g \circ h}$ ορίζεται για κάθε $\displaystyle{x \ge 1}$ και ισχύει ότι $\displaystyle{g \circ h(x) = f(x)}$ .

Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_2 \in [1, + \infty )}$ τότε

$\displaystyle{ x_1 < x_2 \Rightarrow h(x_1 ) > h(x_2 ) \Rightarrow g(h(x_1 )) > g(h(x_2 )) \Rightarrow f(x_1 ) > f(x_2 ) }$

Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα.

Μάλιστα... δε το σκέφτηκα..
Με το κατά μέτωπο, είδατε τι έκανα, και δε λειτούργησε καθόλου! Έβγαιναν συνέχεια αυτές οι ρίζες που μόνο διεύκολυνση δεν έκαναν.

Σας ευχαριστώ για τη λύση! Τελικά ωραία συνάρτηση για εξάσκηση στους παραγώγους και τη μονοτονία.
Καλό μεσημέρι.

Τόλης

kostas_zervos · #19

Για τη μονοτονία της $f(x)=\sqrt{x-\sqrt{x^2-x}}\;,\;x\geq 1$ .

Είναι συνεχής στο $[1,+\infty)$ και παραγωγίσιμη στο $(1,+\infty)$ με

$f'(x)=\dfrac{2\sqrt{x^2-x}-2x+1}{4\sqrt{x^2-x}\sqrt{x-\sqrt{x^2-x}}}$ .

$f'(x)<0\iff 2\sqrt{x^2-x}<2x-1\overset{x>1}{\iff}$

$\iff 4x^2-4x<4x^2-4x+1\iff 0<1$ που ισχύει , άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $[1,+\infty)$ .

ή διαφορετρικά:

$f'(x)=\dfrac{2\sqrt{x^2-x}-2x+1}{4\sqrt{x^2-x}\sqrt{x-\sqrt{x^2-x}}}\overset{2x-1>0}{=}\dfrac{\sqrt{4x^2-4x}-\sqrt{(2x-1)^2}}{4\sqrt{x^2-x}\sqrt{x-\sqrt{x^2-x}}}=$

$=\dfrac{\sqrt{4x^2-4x}-\sqrt{4x^2-4x+1}}{4\sqrt{x^2-x}\sqrt{x-\sqrt{x^2-x}}}<0$ κλπ.

Christos.N · #20

Με σύνθεση των παραπάνω δύο δρόμοι ακόμα.

πρώτος δρόμος

Tolaso J Kos έγραψε: Στο $\displaystyle{(1, +\infty )}$ η $\displaystyle{f}$ είναι παραγωγίσιμη με
$\displaystyle{f'(x)=\left ( \sqrt{x-\sqrt{x^2-x}} \right )'=\frac{1-\displaystyle{\frac{2x-1}{2\sqrt{x^2-x}}}}{2\sqrt{x-\sqrt{x^2-x}}}=...=\frac{2\sqrt{x^2-x}-2x+1}{2\sqrt{x^2-\sqrt{x^2-x}}}, \, \, \, x>1}$

Το πρόσημο της παραγώγου καθορίζεται αποκλειστικά από τον αριθμητή,

kostas_zervos έγραψε: $2\sqrt{x^2-x}<2x-1\overset{x>1}{\iff}$

$\iff 4x^2-4x<4x^2-4x+1\iff 0<1$ που ισχύει , άρα είναι γνησίως φθίνουσα στο $[1,+\infty)$ .

είτε, ως δεύτερος δρόμος.

Tolaso J Kos έγραψε: Μετά θεώρησα συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=2\sqrt{x^2-x}-2x+1}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη με $\displaystyle{g'(x)=\frac{2x-1}{\sqrt{x^2-x}}-2=\frac{2\left ( x-\sqrt{x^2-x} \right )}{\sqrt{x^2-x}}}$ . Και έπειτα θεώρησα την $\displaystyle{h(x)=x-\sqrt{x^2-x}}$ η οποία είναι παραγωγίσιμη .

Christos.N έγραψε:
$\displaystyle{ h'(x) = 1 - \frac{{2x - 1}}{{2\sqrt {x^2 - x} }} = 1 - \frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 - \frac{1}{4}} }} < 1 - \frac{{x - \frac{1}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2 } }} = 1 - 1 = 0 \Rightarrow h'(x) < 0, x>1 }$

Άρα η είναι γνησίως φθίνουσα για $\displaystyle{x \ge 1}$
.

με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left( {\frac{1}{2},1} \right]}$

αφού

$\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } h(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x - \sqrt {x^2 - x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x + \sqrt {x^2 - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{x}{{x\left( {1` + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} } \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{1}{{1` + \sqrt {1 - \frac{1}{x}} }} = \frac{1}{2} }$

και h(1)=1

.

Άρα $\displaystyle{g'(x) > 0,x > 1}$ συνεπώς η

είναι γνησίως αύξουσα με σύνολο τιμών το $\displaystyle{\left[ {g(1),\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x)} \right) = [ - 1,0)}$

καθώς, $\displaystyle{\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } g(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - 2h(x) + 1} \right) = 0,\,\,\,\,\,g(1) = - 1}$

Άρα $\displaystyle{g(x) < 0,x \ge 1}$ συνεπώς $\displaystyle{f'(x) < 0,x > 1}$ που αποδεικνύει ότι η

είναι γνησίως φθίνουσα.

Προσοχή στις κακοτοπιές!

Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Re: Προσοχή στις κακοτοπιές!

Μέλη σε σύνδεση