1-1

#1

Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{ f (x + f (x + y)) = f (2x) + y, ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ . $\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$
Να δείξετε ότι η

είναι 1-1.

venpan · #2

αν επιτρέψεις x=0

τότε για

.

αν δεν είναι αυτός ο σκοπός της άσκησης σβήσε αυτή τη λύση

#3

smarpant έγραψε:αν επιτρέψεις τότε για

.

αν δεν είναι αυτός ο σκοπός της άσκησης σβήσε αυτή τη λύση

Δε μπορούμε να θέσουμε x=0

διότι η σχέση μας ισχύει μόνο για x,y>0...

dimitris.ligonis · #4

Έστω $x_1,x_2 \in \mathbb{R^+} : f(x_1)=f(x_2).$
Έστω $a \in \mathbb{R^+} : x_1,x_2 > a$
Τότε: x_1=a+b_1

,

για κάποια $b_1,b_2 \in \mathbb{R^+}$
Οπότε θα είναι:
$a+f(a+b_1)=a+f(a+b_2) \overset{f}{\Rightarrow}$
$f(a+f(a+b_1))=f(a+f(a+b_2)) \Rightarrow$
$f(2a)+b_1=f(2a)+b_2 \Rightarrow$
$b_1=b_2 \Rightarrow$
x_1=x_2

Άρα $f: 1-1/ \mathbb{R^+}$

#5

kostasrmd · #6

socrates έγραψε: ↑
Κυρ Οκτ 20, 2013 12:48 am
Η συνάρτηση $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ είναι τέτοια ώστε $\displaystyle{ f (x + f (x + y)) = f (2x) + y, ,}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+$ . $\mathbb{R}^+=(0,+\infty)$
Να δείξετε ότι η είναι 1-1.

Eαν θέταμε x=y

η σχέση θα γινόταν f(x+f(2x))=f(2x) +x

. Eαν τώρα θέταμε f(2x)+x=y

και καταλήγαμε στο ότι
f(y)=y

,άρα και 1-1 είναι σωστό;; Λογικά είναι λανθασμένο άλλα ρωτάω για παν ενδεχόμενο.

#7

Θα έπρεπε το συνιλο τιμών της $\displaystyle{f(2x)+x}$ να είναι όλο το $\displaystyle{R+}$ πουν δεν εχει αποδειχθεί

kostasrmd · #8

R BORIS έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 15, 2019 8:11 am
Θα έπρεπε το συνιλο τιμών της $\displaystyle{f(2x)+x}$ να είναι όλο το $\displaystyle{R+}$ πουν δεν εχει αποδειχθεί

Aυτο που είχα κατά νου, μάλιστα. Ευχαριστώ.

1-1

1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Re: 1-1

Μέλη σε σύνδεση