τιμή συνάρτησης

Grosrouvre · #1

Έστω συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f\left(x \right)f\left(- \frac{1}{x}\right) = - 2015$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}^*$ .

Να υπολογίσετε το f(0).

dimitris.ligonis · #2

Από τη δοσμένη προκύπτει ότι f(-1)f(1)<0

. Η

είναι συνεχής στο $\mathbb{R}$ άρα και στο [-1,1]

οπότε απο Bolzano $\exists \ x_0 \in (-1,1) : f(x_0)=0.$

Όμως από τη δοσμένη και επειδή $(-1,0) \cup (0,1) \subset \mathbb{R^*}$ ισχύει ότι $f(x) \neq 0, \ \forall x \in (-1,0) \cup (0,1)$ άρα x_0=0

maiksoul · #3

Ενδιαφέρουσα άσκηση !

Από την αρχική σχέση προκύπτει ότι υπάρχει π.χ.

$\displaystyle{ x_1 \succ 0\,\,:\,\,f(x_1 ) \ne 0\,\, }$

τότε για $\displaystyle{ \,\,x = x_{1\,\,} \,\, }$ στην αρχική έχουμε

$\displaystyle{ \,\,\,\,f(\, - \frac{1}{{x_1 }}\,\,)\,\,f(x_1 ) = - 2015 \prec 0\,\,\, \Rightarrow \,f(\, - \,\,\frac{1}{{x_1 }}\,\,),f(x_1 )\,\,\,\varepsilon \tau \varepsilon \rho o\sigma \eta \mu \alpha \,\,\, }$

άρα από θεώρημα ενδιάμεσων τιμών προκύπτει πως για κάποιο

$\displaystyle{ \,\,x_0 \in ( - \,\,\frac{1}{{x_1 }}\,\,,\,\,x_1 \,\,)\,\,\, }$ είναι $\displaystyle{ \,\,\,f(\,\,x_0 \,) = 0\,\,\,\, }$
Αν $\displaystyle{ \,\,\,\,\,x_0 \, \ne 0\,\,\,\, }$ η αρχική σχέση δίνει

$\displaystyle{ \,\,\,\,\,f(x_0 )\,f( - \frac{1}{{x_0 }}\,) = - 2015 \Leftrightarrow 0 = - 2015\,\, }$ άτοπο!

Άρα $\displaystyle{ \,\,\,\,\,x_0 = 0\,\,\,\, }$ δηλαδή $\displaystyle{ \,\,\,\,\,f(0) = 0\,\,\,\, }$

Υ.Γ. Με πρόλαβαν ... το αφήνω για τον κόπο και τις όποιες διαφορές!

#4

Grosrouvre έγραψε:Έστω συνεχής συνάρτηση $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ τέτοια ώστε $f\left(x \right)f\left(- \frac{1}{x}\right) = - 2015$ , για κάθε $x\in \mathbb{R}^*$ .

Να υπολογίσετε το

Η λύση επανεξετάζεται

mathxl · #5

viewtopic.php?f=52&t=1321&p=7557#p7557

maiksoul · #6

Έχει ενδιαφέρον όμως ότι όλοι λίγο πολύ...τις ίδιες σκέψεις κάναμε.

τιμή συνάρτησης

τιμή συνάρτησης

Re: τιμή συνάρτησης

Re: τιμή συνάρτησης

Re: τιμή συνάρτησης

Re: τιμή συνάρτησης

Re: τιμή συνάρτησης

Μέλη σε σύνδεση