Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Βαγγέλης Κορφιάτης · #1

Καλημέρα σε όλους
Αφορμή για την παρούσα ανάρτηση αποτέλεσε το φετινό ερώτημα Γ2 στις πανελλαδικές εξετάσεις.
Ας υποθέσουμε ότι οι γνωστές συναρτήσεις $g,\,h\,:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι συνεχείς και η συνεχής συνάρτηση
$f\,:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ είναι λύση της εξίσωσης
$\displaystyle{[f(x) - g(x)][f(x) - h(x)] = 0}$
(γενικότερα λύση ικανοποιεί την συνθήκη
$\displaystyle{f(x) = g(x)\,\, \vee \,\,f(x) = h(x),\,\,\forall x \in I}$
όπου Ι διάστημα του $\mathbb{R}$ .
Το ερώτημα είναι πόσες και ποιες είναι οι διαφορετικές λύσεις του προβλήματος εύρεσης της f.

Βαγγέλης Κορφιάτης · #2

Καλησπέρα συνάδελφοι.
Για να μην μεταφορτώσω ξανά το pdf, μια διόρθωση ενός εκ παραδρομής λάθους
Στην εκφώνηση της πρότασης 1, η σχέση f(x)=h(x)=0 πρέπει να γίνει f(x)=h(x)

#3

Χμμμμ.

Δυστυχώς η απόδειξη στο συνημμένο έχει ένα χονδροειδές σφάλμα στην σελίδα

γραμμή

.

Άσκηση για σένα: Αν $g(x) = x+1, \, h(x) = x$ στο [0, 2]

δείξε ότι ισχύει η συνθήκη $g(x)>h(x), \forall x \in [0,2]$ αλλά για τα $\mu, M$ που ορίζονται στην σελίδα

γραμμή

ισχύει $\mu < M$ παρά τον ισχυρισμό $\mu > M$ στην γραμμή

.

Βαγγέλης Κορφιάτης · #4

Καλημέρα Μιχάλη
Έχεις απόλυτο δίκιο. Την πάτησα σαν πρωτάρης.
Η απόδειξη είναι ολοκληρωτικά λάθος.

#5

Βαγγέλης Κορφιάτης έγραψε:Η απόδειξη είναι ολοκληρωτικά λάθος.

Το αποτέλεσμα όμως, ευτυχώς, ισχύει. Έκανα μία απόδειξη με ομοιόμορφη συνέχεια (δεν έψαξα αν γίνεται με
ελαφρύτερα εργαλεία γιατί έχω πολύ φόρτο εργασίας) και ελπίζω κάποιο μέλος μας θα βρει και να γράψει μια πιο απλή.

Βαγγέλης Κορφιάτης · #6

Καλησπέρα σε όλους
Ο Δημήτρης Σκουτέρης βρήκε και έγραψε μια πιο απλή.
Εφαρμόζουμε θ Bolzano στην συνάρτηση w με w(x)=h(x)+g(x)-2f(x)

Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Re: Συγκολλώντας με συνεχή τρόπο δύο συνεχείς συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση