Αντιπαραδείγματα

#1

Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά ...

1. Βρείτε μια σχέση μεταξύ των $\displaystyle{x,y}$ η οποία δεν ορίζει συνάρτηση.
2. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ορίζεται η $\displaystyle{f+g}$ αλλά όχι η $\displaystyle{f\circ g}$
3. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f\circ g=g\circ f}$ .
4. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f\circ g\ne g\circ f}$ .
5. Βρείτε μια περιττή συνάρτηση $\displaystyle{f}$ που δεν είναι $\displaystyle{1-1}$ .
6. Βρείτε μια $\displaystyle{1-1}$ συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη
7. Βρείτε δυο αντίστροφες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ ώστε οι $\displaystyle{{{C}_{f}},{{C}_{g}}}$ να τέμνονται σε σημείο εκτός της $\displaystyle{y=x}$ .
8. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f(g(x))=x}$ και $\displaystyle{g(f(x))\ne x}$
9. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ που να μην είναι $\displaystyle{1-1}$ ενώ η $\displaystyle{f\circ g}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ .
10. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f(g(x))=f(x)g(x)}$

#2

exdx έγραψε:Όσο πιο απλά , τόσο πιο καλά ...

1. Βρείτε μια σχέση μεταξύ των $\displaystyle{x,y}$ η οποία δεν ορίζει συνάρτηση.
2. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ορίζεται η $\displaystyle{f+g}$ αλλά όχι η $\displaystyle{f\circ g}$
3. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f\circ g=g\circ f}$ .
4. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f\circ g\ne g\circ f}$ .
5. Βρείτε μια περιττή συνάρτηση $\displaystyle{f}$ που δεν είναι $\displaystyle{1-1}$ .
6. Βρείτε μια $\displaystyle{1-1}$ συνάρτηση που δεν είναι γνησίως μονότονη
7. Βρείτε δυο αντίστροφες συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ ώστε οι $\displaystyle{{{C}_{f}},{{C}_{g}}}$ να τέμνονται σε σημείο εκτός της $\displaystyle{y=x}$ .
8. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f(g(x))=x}$ και $\displaystyle{g(f(x))\ne x}$
9. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ που να μην είναι $\displaystyle{1-1}$ ενώ η $\displaystyle{f\circ g}$ είναι $\displaystyle{1-1}$ .
10. Βρείτε δύο συναρτήσεις $\displaystyle{f,g}$ για τις οποίες να ισχύει $\displaystyle{f(g(x))=f(x)g(x)}$

Μια πρώτη προσπάθεια:

1. x^2+y^2=1.

2. $f(x)=\dfrac{1}{x}$ , $x\ne 0$ , g(x)=0.

3.

για κάθε $x\in \mathbb{R}.$
4. f(x)=1

,

για κάθε $x\in \mathbb{R}.$
5. $f(x)=\sin x$ για κάθε $x\in \mathbb{R}.$
6. f(x)=e^x

για $x\ne 0$ , ενώ f(0)=0.

7.

,

8. $g(x)=\dfrac{x}{1+|x|}$ ,και $f(x)=\dfrac{x}{1-|x|}$ για |x|<1

,

$|x|\geq 1.$ (αντιγραφή από εδώ)
9. Αν η $f\circ g$ είναι 1-1, τότε η

είναι 1-1, οπότε τέτοιο αντιπαράδειγμα δεν υπάρχει.
10. f(x)=0

,

οποιαδήποτε με $D_g=\mathbb{R}.$

Φιλικά,

Αχιλλέας

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

Κατά αρχήν να σημειώσω ότι για τα κανονικά Μαθηματικά υπάρχει πρόβλημα σε κάποια ερωτήματα.
Αυτό γιατί δεν γίνεται κουβέντα για τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων.

Ετσι ενώ σωστά τα λέει ο Αχιλλέας για το 9) με σχολικά Μαθηματικά υπάρχει παράδειγμα.

Θέτουμε $g(x)=-\left | \sin x \right |-1$ για x< 0

και $g(x)=x^{2}$ για $x\geq 0$

Επίσης $f(x)=\sqrt{x}$ για $x\geq 0$

και $f(x)=\sqrt{\left | x \right |}$ για $x\leq -10$

Στο 8) νομίζω ότι πιο απλό είναι να πάρουμε

$f(x)=x^{2},x\in \mathbb{R}$

και $g(x)=\sqrt{x},x\geq 0$

#4

Καλημέρα Αχιλλέα , καλημέρα Σταύρο . Ευχαριστώ για τα παραδείγματα .

Δεν λέω τίποτα για το πεδίο ορισμού. Ψάχνω δυο συναρτήσεις , οτιδήποτε
(Σε κάποιες ασκήσεις του σχολικού αναφέρεται : Βρείτε συνάρτηση ώστε ...
Επίσης στο φετινό Α2 δεν αναφερόταν το πεδίο ορισμού .)

Για το 9
Οι παρακάτω συναρτήσεις είναι φανερό ότι δεν είναι $\displaystyle{1-1}$
$\displaystyle{\begin{array}{l} f(x) = |x|,x > - 2, \\ g(x) = {x^2},|x| \ge 2 \\ \end{array}}$

Όμως : $\displaystyle{{{A}_{gof}}=\left\{ x\in {{A}_{f}}\wedge f(x)\in {{A}_{g}} \right\}=\left\{ x>-2\wedge |x|\ge 2 \right\}=[2,+\infty )}$
και $\displaystyle{g(f(x))=g(|x|)=|x{{|}^{2}}={{x}^{2}},x\ge 2}$ , η οποία είναι $\displaystyle{1 - 1}$

Αντιπαραδείγματα

Αντιπαραδείγματα

Re: Αντιπαραδείγματα

Re: Αντιπαραδείγματα

Re: Αντιπαραδείγματα

Μέλη σε σύνδεση