Ερώτηση

evitakron · #1

Καλησπέρα! Θέλω να ρωτήσω κάτι ελπίζοντας να μην είναι πολύ άστοχο...

Υπάρχει περίπτωση ένα πλευρικό όριο να μην υπάρχει;

(Δεν εννοώ να μην ορίζεται, όπως για παράδειγμα το $\lim_{x\rightarrow 0^{-}}f(x)$ συνάρτησης ορισμένης μόνο σε διάστημα $\left ( 0,1 \right )$ .)

Λάμπρος Κατσάπας · #2

Ναι, υπάρχει. Δες αυτά:
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sin (\frac{1}{x}),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\sin (\frac{1}{x})$

#3

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε:Ναι, υπάρχει. Δες αυτά:
$\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\sin (\frac{1}{x}),\lim_{x\rightarrow 0^{-}}\sin (\frac{1}{x})$

Ας το διευκρινίσουμε κάπως περισσότερο:

To $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0^{+}}}\eta\mu\big({\tfrac{1}{x}}\big)$ είναι ένα από τα τυπικά παραδείγματα μη- ύπαρξης (πλευρικού) ορίου.
[attachment=0]lim_sin(x^(-1)).png[/attachment]

Παρατηρούμε(*) ότι καθώς $x\rightarrow{0^{+}}$ η συνάρτηση διαρκώς (άπειρες φορές) ανεβοκατεβαίνει παίρνοντας όλες τις τιμές στο διάστημα [-1.1]

. Επομένως καθώς $x\rightarrow{0^{+}}$ η συνάρτηση δεν τείνει σε κάποια συγκεκριμένη τιμή. Αυτό σημαίνει ότι δεν υπάρχει το $\displaystyle\mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow{0^{+}}}\eta\mu\big({\tfrac{1}{x}}\big)$ .

Το παραπάνω είναι, αναγκαστικά, μια διαισθητική περιγραφή της έννοιας μη-ύπαρξης ορίου, αφού για την (αυστηρή) μαθηματική περιγραφή & απόδειξη θα χρειαζόμασταν τον ακολουθιακό ή τον $\varepsilon$ -τικό ορισμό του ορίου μιας συνάρτησης, οι οποίοι δεν είναι στην ύλη της Γ' Λυκείου.

Ελπίζω να "φωτίστηκε" λίγο περισσότερο το θέμα.

(*) η κλίμακα των αξόνων είναι πολύ μικρή (τάξης δεκάτων και εκατοστών).

Ερώτηση

Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Re: Ερώτηση

Μέλη σε σύνδεση