Εκθετική της εκθετικής

#1

Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0+} x^{x^x} }$

(μπορούμε να βρούμε και τα αντίστοιχα όρια πιο ψηλών "εκθετικών πύργων" αλλά οι πράξεις γίνονται επίπονες.)

Tolaso J Kos · #2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 10, 2021 4:39 pm Να βρεθεί το όριο

$\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0+} x^{x^x} }$

Λήμμα: Είναι $\displaystyle \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x =1$ . Πράγματι,

$\begin{aligned} \lim_{x \rightarrow 0^+} x^x &=\lim_{x \rightarrow 0^+} \exp \left ( x \ln x \right ) \\ &=\exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} x \ln x \right ) \\ &= \exp \left ( \lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \right ) \\ &=\exp \left ( -\lim_{x \rightarrow 0^+} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^2}} \right ) \\ &= \exp \left ( -\lim_{x \rightarrow 0^+} x \right ) \\ &= 1 \end{aligned}$
Τότε,

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{x^x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp \left ( x^x \ln x \right ) \overset{y = x^x \ln x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \lim_{y \rightarrow -\infty} e^y = 0 }$

Γενικά όσο ανεβαίνει ο "πύργος" το όριο θα εναλλάσσεται μεταξύ και .

#3

Tolaso J Kos έγραψε: Σάβ Ιούλ 10, 2021 5:04 pm $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{x^x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \exp \left ( x^x \ln x \right ) \overset{y = x^x \ln x}{=\! =\! =\! =\! =\!} \lim_{y \rightarrow -\infty} e^y = 0 }$

Σωστά. Πιο απλά στο τελευταίο βήμα για να γλιτώσουμε τον συλλογισμό με το $-\infty$ , μπορούμε από συνέχεια να πούμε

$\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+} x^{x^x} =0^1=0$

mick7 · #4

Σχετικά ---> https://www.docdroid.net/mhU29f2/thelim ... eroash-pdf

Εκθετική της εκθετικής

Εκθετική της εκθετικής

Re: Εκθετική της εκθετικής

Re: Εκθετική της εκθετικής

Re: Εκθετική της εκθετικής

Μέλη σε σύνδεση