Όριο χωρίς συνάρτηση

Silver · #1

1) Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $f^{3}(x)+f(x)+1=x$ για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ . Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ .

Silver · #2

2) Δίνονται 2 συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύει $\lim_{x\rightarrow x_{0}}[f^{2}(x)+g^{2}(x)]=0$ . Να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=0$ .

Christos.N · #3

ακόμα πιο ισχυρή η συνέχεια

$|f(x)|\le|f(x)(f^2(x)+1)|=|x-1|$ άρα $|f(x)|\le|x-1| \Leftrightarrow -|x-1|\le f(x)\le|x-1|$

επειδή $\underset{x\to1}{lim}|x-1|=0$ απο το κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to1}{lim}f(x)=0$

Silver · #4

3) Δίνονται 2 συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν: $\lim_{x\rightarrow x_{0}}[5f(x)+2g(x)]=0$ και $\lim_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)g(x)]=0$ . Να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=0$ .

Silver · #5

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:13 pm
ακόμα πιο ισχυρή η συνέχεια

$|f(x)|\le|f(x)(f^2(x)+1)|=|x-1|$ άρα $|f(x)|\le|x-1| \Leftrightarrow -|x-1|\le f(x)\le|x-1|$

επειδή $\underset{x\to1}{lim}|x-1|=0$ απο το κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to1}{lim}f(x)=0$

Μπορώ να κάνω προσέγγιση με αντίστροφη;

#6

Silver έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 2:34 pm
1) Έστω $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ μια συνάρτηση για την οποία ισχύει $f^{3}(x)+f(x)+1=x$ για κάθε $x\epsilon \mathbb{R}$ . Να βρείτε το $\lim_{x\rightarrow 1}f(x)$ .

Από την δοθείσα έχουμε $\displaystyle{|f(x)|= \left |\dfrac {x-1}{1+f^2(x)} \right |= \dfrac {|x-1|}{1+f^2(x)}\le |x-1| }$ . Άρα το ζητούμενο όριο είναι

(άμεσο).

Edit: Τώρα είδα ότι απάντησε ήδη ο Χρήστος, με την ίδια μέθοδο. Όταν ξεκίνησα να γράφω, δεν υπήρχε το ποστ του. Το αφήνω.

Christos.N · #7

Παρόμοια αρκεί να παρατηρήσουμε ότι

$0 \le f^2(x)\le f^2(x)+g^2(x)$ και $\underset{x\to x_0}{lim}(f^2(x)+g^2(x))=0$ από κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to x_0}{lim}f^2(x)=0$

ισχύει

$\underset{x\to x_0}{lim}|f(x)|=\underset{x\to x_0}{lim}\sqrt{f^2(x)}=\sqrt{\underset{x\to x_0}{lim}f^2(x)}=0$

και

$-|f(x)|\le f(x) \le |f(x)|$ και $\underset{x\to x_0}{lim}|f(x)|=0$ από το κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=0$

Christos.N · #8

Silver έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:16 pm

Μπορώ να κάνω προσέγγιση με αντίστροφη;

Μπορείς να αποδείξεις ότι η αντίστροφη είναι συνεχής;

#9

Silver έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:16 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:13 pm
ακόμα πιο ισχυρή η συνέχεια

$|f(x)|\le|f(x)(f^2(x)+1)|=|x-1|$ άρα $|f(x)|\le|x-1| \Leftrightarrow -|x-1|\le f(x)\le|x-1|$

επειδή $\underset{x\to1}{lim}|x-1|=0$ απο το κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to1}{lim}f(x)=0$
Μπορώ να κάνω προσέγγιση με αντίστροφη;

Βεβαίως και μπορείς, αλλά ίσως είναι εκτός ύλης: Εύκολα βλέπουμε ότι η

είναι

και επί, οπότε η αντίστροφη υπάρχει. Θέτοντας όπου

το $f^{-1}(x)$ βρίσκουμε $f^{-1}(x)= 1+x+x^{\textcolor {red}3}}$ και ειδικά $f^{-1}(0)=1$ . Έπεται ότι η αντίστροφη (και άρα η αρχική) είναι συνεχής. Το ζητούμενο όριο είναι (λόγω συνέχειας) f(1)=0

.

#10

Silver έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:15 pm
3) Δίνονται 2 συναρτήσεις $f,g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ για τις οποίες ισχύουν: $\lim_{x\rightarrow x_{0}}[5f(x)+2g(x)]=0$ και $\lim_{x\rightarrow x_{0}}[f(x)g(x)]=0$ . Να δείξετε ότι $\lim_{x\rightarrow x_{0}}f(x)=\lim_{x\rightarrow x_{0}}g(x)=0$ .

$\displaystyle{25f^2(x)+4g^2(x)= (5f(x)+2g(x)^2-20f(x)g(x)\to 0^2-0=0}$ . Άρα $5f(x) \to 0$ και $2g(x)\to 0$ (βλέπε Άσκηση

), και λοιπά.

Christos.N · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:30 pm

Silver έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:16 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:13 pm
ακόμα πιο ισχυρή η συνέχεια

$|f(x)|\le|f(x)(f^2(x)+1)|=|x-1|$ άρα $|f(x)|\le|x-1| \Leftrightarrow -|x-1|\le f(x)\le|x-1|$

επειδή $\underset{x\to1}{lim}|x-1|=0$ απο το κριτήριο παρεμβολής $\underset{x\to1}{lim}f(x)=0$
Μπορώ να κάνω προσέγγιση με αντίστροφη;
Βεβαίως και μπορείς, αλλά ίσως είναι εκτός ύλης: Εύκολα βλέπουμε ότι η είναι και επί, οπότε η αντίστροφη υπάρχει. Θέτοντας όπου το $f^{-1}(x)$ βρίσκουμε $f^{-1}(x)= 1+x+x^2$ και ειδικά $f^{-1}(0)=1$ . Έπεται ότι η αντίστροφη (και άρα η αρχική) είναι συνεχής. Το ζητούμενο όριο είναι (λόγω συνέχειας) .

με χρώμα έχω σημειώσει αυτά που λέτε με αυτό το χρώμα .

Silver · #12

Πολύ ωραίες προσεγγίσεις και σημαντικές συμβουλές

#13

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:38 pm

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:30 pm

Βεβαίως και μπορείς, αλλά ίσως είναι εκτός ύλης: Εύκολα βλέπουμε ότι η είναι και επί, οπότε η αντίστροφη υπάρχει. Θέτοντας όπου το $f^{-1}(x)$ βρίσκουμε $f^{-1}(x)= 1+x+x^2$ και ειδικά $f^{-1}(0)=1$ . Έπεται ότι η αντίστροφη (και άρα η αρχική) είναι συνεχής. Το ζητούμενο όριο είναι (λόγω συνέχειας) .
με χρώμα έχω σημειώσει αυτά που λέτε με αυτό το χρώμα .

Και τι ακριβώς εννοείς; Ότι δεν είναι σωστό αυτό που γράφω;

Christos.N · #14

Όπως γράφετε και εσείς,είναι εκτός ύλης για τον φάκελο, άλλο λάθος και άλλο εκτός πνεύματος σχολικού βιβλίου, διαφωνείτε;

Πάντως εκεί που ακόμα το επεξεργάζομαι και έχω κάποια αμφιβολία είναι αν μπορούμε να δείξουμε (ήπια) ότι η συνάρτηση

είναι επί του $\mathbb{R}$ , μπορούμε εύκολα το μη φραγμένη.

#15

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:54 pm
Όπως γράφετε και εσείς,είναι εκτός ύλης για τον φάκελο, άλλο λάθος και άλλο εκτός πνεύματος σχολικού βιβλίου, διαφωνείτε;

Δεν διαφωνώ καθόλου. Όμως απαντώ στο Μαθηματικό μέρος του προβλήματος άσχετα αν είναι εντός ή εκτός ύλης ή πνεύματος (δεδομένου ότι το δήλωσα κιόλας). Οδηγός μου τα Μαθηματικά, χωρίς περιορισμούς.

Πέραν του προφανούς μου τυπογραφικού σφάλματος $f^{-1}(x)= 1+x+x^2$ αντί $f^{-1}(x)= 1+x+x^{\textcolor {red}3}$ , δεν βλέπω άλλο πρόβλημα.

#16

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:54 pm
Πάντως εκεί που ακόμα το επεξεργάζομαι και έχω κάποια αμφιβολία είναι αν μπορούμε να δείξουμε (ήπια) ότι η συνάρτηση είναι επί του $\mathbb{R}$ , μπορούμε εύκολα το μη φραγμένη.

Ουσιαστικά το έχω απαντήσει το αρχικό ποστ, αλλά ας γράψω λεπτομερέστερα έναν τέτοιο ήπιο τρόπο.

Έστω

πραγματικός. Επειδή η συνάρτηση 1+x+x^3

είναι επί (απλό), υπάρχει

με

. Γι' αυτό το

έχουμε

$\displaystyle{f^3(1+x+x^3)+f(1+x+x^3)+1 =1+x+x^3=y}$

Christos.N · #17

Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 4:29 pm

Christos.N έγραψε: ↑
Τετ Απρ 08, 2020 3:54 pm
Πάντως εκεί που ακόμα το επεξεργάζομαι και έχω κάποια αμφιβολία είναι αν μπορούμε να δείξουμε (ήπια) ότι η συνάρτηση είναι επί του $\mathbb{R}$ , μπορούμε εύκολα το μη φραγμένη.
Ουσιαστικά το έχω απαντήσει το αρχικό ποστ, αλλά ας γράψω λεπτομερέστερα έναν τέτοιο ήπιο τρόπο.

Έστω πραγματικός. Επειδή η συνάρτηση είναι επί (απλό), υπάρχει με . Γι' αυτό το έχουμε

$\displaystyle{f^3(1+x+x^3)+f(1+x+x^3)+1 =1+x+x^3=y}$

mathematica.gr

Όριο χωρίς συνάρτηση

Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Re: Όριο χωρίς συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση