Περιοδική συνάρτηση

#1

Για τη συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ ισχύει ότι $f (x) \ne 0$ και f (x+2) = f (x-1) f (x+5)

για κάθε πραγματικό αριθμό

Να δείξετε ότι η

είναι περιοδική.

https://artofproblemsolving.com/communi ... f_x18__f_x

#2

Σχόλιο: η συνθήκη $f (x) \ne 0$ δεν χρειάζεται...

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

socrates έγραψε: ↑
Πέμ Μαρ 12, 2020 2:50 pm
Για τη συνάρτηση $f:\Bbb{R}\to \Bbb{R}$ ισχύει ότι $f (x) \ne 0$ και για κάθε πραγματικό αριθμό
Να δείξετε ότι η είναι περιοδική.

https://artofproblemsolving.com/communi ... f_x18__f_x

Στην ουσία είναι Αλγεβρα.

Η σχέση γράφεται f (x) = f (x-3) f (x+3)

(

)

Για

δίνει

Υποθέτοντας ότι $f (x) \ne 0$

παίρνουμε 1 = f (x-3) f (x+6)

η

Ετσι είναι
$f(x)=\frac{1}{f(x+9)}=f(x+18)$

που δείχνει ότι είναι περιοδική και μια περίοδος της είναι

Αν

τότε προκύπτει ότι f(x+3k)=0

για $k\in \mathbb{Z}$
Επειδή δουλεύουμε με το

προσθέτοντας πολλαπλάσια του

δεν μας δημιουργεί πρόβλημα.

Περιοδική συνάρτηση

Περιοδική συνάρτηση

Re: Περιοδική συνάρτηση

Re: Περιοδική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση