εξίσωση

#1

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\displaystyle{2x^{2024}=e^x}$

έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(1 , +\propto)}$

#2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2023 12:37 am
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\displaystyle{2x^{2024}=e^x}$

έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(1 , +\propto)}$

H $f(x) = e^x-2x^{2024}$ ικανοποιεί f(1)= e-2>0

και $f(2) = e^2-2^{2025} < 3^2-2^{2025} <0, \, (*)$ . Άρα έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο (1,2)

. Επίσης με l' Hospital βρίσκουμε ότι

$\displaystyle{\lim _{x\to \infty} \dfrac {e^x }{2x^{2024}} = +\infty}$ , άρα υπάρχει κατάλληλα μεγάλο x_0

(χωρίς βλάβη x_0 >2

) με $\dfrac {e^{x_0} }{2x_{0} ^{2024}} >1$ . Έπεται ότι
$f(x_0) = e^{x_0}-2x_0^{2024}>0$ . Μαζί με την (*)

συμπεραίνουμε ότι η

έχει ρίζα στο (2, x_0)

. Άρα έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο (1,x_0)

και κατά μείζοντα λόγο στο $(1, \, +\infty )$ .

Νίκος Ζαφειρόπουλος · #3

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: ↑
Κυρ Νοέμ 19, 2023 12:37 am
Να αποδείξετε ότι η εξίσωση

$\displaystyle{2x^{2024}=e^x}$

έχει δύο τουλάχιστον ρίζες στο διάστημα $\displaystyle{(1 , +\propto)}$

$\forall x \in \mathbb{R}$ είναι
$2x^{2024}=e^x\Leftrightarrow \dfrac{2x^{2024}}{e^x}-1=0$

Έστω $f(x)=\dfrac{2x^{2024}}{e^x}-1$

Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με $f'(x)=\dfrac{2x^{2023}(2024-x)}{e^x}$

Επειδή $f'(x)=0\Leftrightarrow x=0 \vee x=2024$

Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα στo $\Delta_2=[0,2024]$ και γνησίως φθίνουσα στα $\Delta_1=(-\infty,0]$ και $\Delta_3=[2024,+\infty)$
Ακόμη είναι f(0)=-1

, $f(2024)=2(\frac{2024}{e})^{2024}-1 >0$ ,
$\lim_{x \to +\infty} f(x)=-1$ γιατί $\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2x^{2024}}{e^x}=\lim_{x \to +\infty}\dfrac{2\cdot {2024}!}{e^x}=0$
και
$\lim_{x \to -\infty}f(x)=\lim_{x \to -\infty}(\dfrac{2x^{2024}}{e^x}-1)=\lim_{x \to +\infty}(2x^{2024}\cdot e^{-x}-1)=+\infty$
Άρα
$f(\Delta_1)=[-1,+\infty) \:\: , \:\: f(\Delta_2)=[-1,2(\dfrac{2024}{e})^{2024}-1]$ και $f(\Delta_3)=(-1,2(\dfrac{2024}{e})^{2024}-1]$
και επειδή το

ανήκει και στα τρία αυτά διαστήματα , η εξίσωση f(x)=0

έχει ακριβώς τρεις λύσεις, μία σε κάθε ένα από τα $\Delta_1 \:\:,\:\:\Delta_2\:\:, \:\: \Delta_3$
Στο $\Delta_2$ ρίζα είναι μεγαλύτερη του

γιατί $f(1)=\frac{2}{e}-1<0$

#4

Θεωρούμε την συνάρτηση $f\left ( x \right )=2024lnx-x+ln2$ ορισμένη στο $\left ( 1,+\infty \right )$ .
Η

είναι παραγωγίσιμη στο $\left ( 1,+\infty \right )$ με $f'\left ( x \right )=\frac{2024}{x}-1$ .
Άρα, είναι γνησίως αύξουσα και συνεχής στο (1,2024]

και γνησίως φθίνουσα και συνεχής στο $[2024,+\infty)$
Συνεπώς f((1,2024])=(ln2-1,2024(ln2024-1)+ln2]

και $f\left ( [2024,+\infty) \right )=(-1,2024\left ( ln2024-1 \right )+ln2]$
δηλαδή η $f\left ( x \right )=0$ έχει ακριβώς δύο ρίζες στο $\left ( 1,+\infty \right )$ .

εξίσωση

εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Re: εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση