μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

parmenides51 · #1

Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ για την οποία ισχύει πως $\displaystyle{f(x+1)f(x)+ f(x+1)+1=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε οτι :
α) η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=-1}$ είναι αδύνατη
β) η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής

#2

parmenides51 έγραψε:Έστω συνάρτηση $\displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}$ για την οποία ισχύει πως $\displaystyle{f(x+1)f(x)+ f(x+1)+1=0}$ για κάθε $\displaystyle{x\in \mathbb{R}}$ .
Να αποδείξετε οτι :
α) η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=-1}$ είναι αδύνατη
β) η συνάρτηση $\displaystyle{f}$ δεν είναι συνεχής

Το (α) έπεται άμεσα από το γεγονός ότι

$f(x+1)[f(x)+1]=-1\ne 0$ ,

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Για το (β), ας υποθέσουμε, με απαγωγή σε άτοπο, ότι η

είναι συνεχής.

Τότε, αφού f(x+1)

και

ετερόσημοι, από το (α) και το θεώρημα Bolzano, θα ισχύει -1<f(x)<0

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Τότε f(x+1)f(x)>0

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , και f(x+1)+1>0

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , οπότε με πρόσθεση κατά μέλη παίρνουμε

$\displaystyle{f(x+1)f(x)+ f(x+1)+1>0}$ για κάθε $x\in \mathbb{R}$ , άτοπο.

Συνεπώς, η

δεν είναι συνεχής.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Pla.pa.s · #3

γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοια

και δώστε μερικούς πιθανούς τύπους της.

#4

Pla.pa.s έγραψε:γ) Να δείξετε ότι υπάρχει τέτοια και δώστε μερικούς πιθανούς τύπους της.

Νομίζω δουλεύει το

$\displaystyle{f(x)=\begin{cases} -2, \ x\in [0,1) \\ 1, \ x\in [1,2) \\ -0.5, \ x\in [2,3) \end{cases} }$

και την επεκτείνουμε f(x+3)=f(x).

Σωστά;

Pla.pa.s · #5

Ακριβώς.
(Γενικότερα κάνοντας πράξεις, η

προκύπτει ότι έχει περίοδο

.)
Μπορεί επίσης να δουλέψει κάθε συνάρτηση που την παίρνουμε σε ένα διάστημα [x_0 , x_0 +1)

στο οποίο δεν παίρνει τις τιμές

ή

και την τιμή της στα υπόλοιπα διαστήματα την βρίσκουμε από την αρχική.

parmenides51 · #6

Η άσκηση προέρχεται από το παλιό mathematica. Συνημμένα βρίσκεται μια διαφορετική λύση (με βοηθητική συνάρτηση) από τον Γρηγόρη Κωστάκο.

μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

Re: μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

Re: μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

Re: μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

Re: μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

Re: μια παλιά συναρτησιακή - ασυνεχής

Μέλη σε σύνδεση