όριο συναρτησιακής

ansdimou · #1

Δίνεται η συνάρτηση

, γνησίως αύξουσα στο $\left( 0,+\infty \right)$ , ώστε για κάθε x>0

, να ισχύει $f({{x}^{2}})=2f(x)$ .
Αν υπάρχει το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , να δειχθεί ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

#2

ansdimou έγραψε:Δίνεται η συνάρτηση , γνησίως αύξουσα στο $\left( 0,+\infty \right)$ , ώστε για κάθε , να ισχύει $f({{x}^{2}})=2f(x)$ .
Αν υπάρχει το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ , να δειχθεί ότι $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=+\infty$

Για

παίρνουμε

, άρα

. Συνεπώς για x>1

είναι $f(x)>0\, (*)$ .

Αν η

ήταν φραγμένη θα είχε όριο $x \to +\infty$ ένα $L< +\infty$ , τo οποίο είναι L>0

λόγω της

. Όμως $L = \lim _{x \to \infty } f(x^2) = 2\lim _{x \to \infty } f(x) =2L$ οπότε L=0

, άτοπο. Τελικά η

είναι μη φραγμένη και το όριό της είναι $+\infty$ .

Φιλικά,

Μιχάλης

ansdimou · #3

Ευχαριστώ Μιχάλη, αναρωτιόμουν αν υπάρχει πιο "σχολικός" τρόπος να λυθεί

#4

ansdimou έγραψε:αναρωτιόμουν αν υπάρχει πιο "σχολικός" τρόπος να λυθεί

Ο παραπάνω τρόπος προσαρμόζεται πολύ εύκολα σε απόλυτα σχολικό: Θέτουμε $L = \lim _{x\to \infty} f(x)$ . Αν $L\in \mathbb R$ , τότε, όπως πριν, L=0

και λοιπά.

Ο λόγος που έκανα την λίγο πιο δύσκολη απόδειξη ήταν για να δείξω ότι η υπόθεση
" υπάρχει το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)$ "
είναι περιττή καθώς βγαίνει από τις υπόλοιπες υποθέσεις.

Ένα ακόμη σχόλιο: καλό είναι να δούμε ότι η υπόθεση " f(x^2)=2f(x)

και

γνήσια αύξουσα", δεν είναι κενή. Μία τέτοια συνάρτηση είναι η $f(x) = \ln x$ .

M.

όριο συναρτησιακής

όριο συναρτησιακής

Re: όριο συναρτησιακής

Re: όριο συναρτησιακής

Re: όριο συναρτησιακής

Μέλη σε σύνδεση