Ύπαρξη ρίζας

#1

Αν $\gamma \neq 0$ και $a < 0 < \beta$ , να δείξετε οτι η εξίσωση:

$a^4\beta^4= \gamma\ x^5+2(x-\beta)^4(x-a)^4$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(a,\beta)$ .

#2

Πρωτοπαπάς Λευτέρης έγραψε:Αν $\gamma \neq 0$ και $a < 0 < \beta$ , να δείξετε οτι η εξίσωση:

$a^4\beta^4= \gamma\ x^5+2(x-\beta)^4(x-a)^4$ έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα $(a,\beta)$ .

Θέτουμε $p(x)= \gamma\ x^5+2(x-\beta)^4(x-a)^4 - \alpha^4 \beta ^4$ .

Είναι $p(a) =( \gamma a -b^4)a^4, p(b) =( \gamma b -a^4)b^4, p(0) = a^4b^4 > 0$

Παρατηρούμε ότι για κάθε γ, ένα από τα $( \gamma a -b^4)a^4, ( \gamma b -a^4)b^4$ είναι αρνητικό:
Αν γ $\le 0$ είναι το δεύτερο ενώ αν γ $\ge 0$ είναι το πρώτο.
Από Bolzano έχουμε ρίζα σε ένα τουλάχιστον των (α, 0), (0, β).

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Ύπαρξη ρίζας

Ύπαρξη ρίζας

Re: Ύπαρξη ρίζας

Μέλη σε σύνδεση