Όμορφη...Συνέχεια

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Όμορφη...Συνέχεια

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Πέμ Οκτ 28, 2010 9:34 pm

Τη βρήκα, μου άρεσε και τη δίνω με την ελπίδα πάντα οτι δεν έχει συζητηθεί :P


Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη και συνεχής στο \mathbb{R} με f(x)\neq 0,\forall x\epsilon \mathbb{R}.
Αν ισχύει: f(2008)=1 , f(2009)=10 και

\displaystyle \frac{f(f(x))}{f(f(x)+2)}=\frac{f(f(x)+3)}{f(f(x)+1)},\forall x\epsilon \mathbb{R} τότε:

Α) Να δείξετε οτι \displaystyle f(2)\cdot f(3)=f(4)\cdot f(5)
B) Να δείξετε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα \rho \epsilon \left[2,3 \right] τέτοιο ώστε: \displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3)
Γ) Δείξτε οτι η f δεν είναι "1-1"
Δ) Αν η f είναι γνησίως αυξουσα στο \displaystyle [2008,2009] και \displaystyle x_1,x_2\epsilon \left[2008,2009 \right] να δείξετε οτι υπάρχει ένα μοναδικό \displaystyle x_0\epsilon \left[2008,2009 \right] τέτοιο ώστε : \displaystyle 3f(x_0)=f(x_1)+2f(x_2)


Στραγάλης Χρήστος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Όμορφη...Συνέχεια

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Οκτ 28, 2010 9:57 pm

Καταρχάς, λόγω συνέχειας και επειδή \displaystyle{f(x)\ne 0}, \displaystyle{f(2008)>0}, είναι \displaystyle{f(x)>0} παντού.

Για το 1ο ερώτημα:

Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει \displaystyle{q \in (2008,2009)} ώστε \displaystyle{f(q)=2.}

Θέτουμε τότε στη δοθείσα \displaystyle{x=q} και προκύπτει η ζητούμενη.

Για το 2ο ερώτημα:

Αν \displaystyle{f(2)=f(3)} τότε \displaystyle{r=2} ή \displaystyle{r=3}.
Ας είναι λοιπόν, \displaystyle{f(2)\ne f(3).} Ας είναι π.χ. \displaystyle{f(2)>f(3).} Τότε \displaystyle{f(2)>\sqrt{f(2)f(3)}>f(3)} (εύκολο). Οπότε πάλι, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει \displaystyle{\rho \in (2,3)} ώστε \displaystyle{f(\rho)=\sqrt{f(2)f(3)}.}


Για το 3ο ερώτημα:

Αν ήταν 1-1, ως συνεχής θα ήταν γνησίως μονότονη. Όμως από το 1) έχουμε

\displaystyle{\frac{f(2)}{f(4)}=\frac{f(5)}{f(3)},} άτοπο. Αν f γνησίως αύξουσα, το αριστερό μέλος <1, ενώ το δεξί >1. Ομοίως η γνησίως φθίνουσα.

Για το 4ο ερώτημα:


Λόγω της μονοτονίας και επειδή \displaystyle{x_{1},x_{2}\in [2008,2009]}, έχουμε

\displaystyle{1=f(2008)\leq f(x_{1})\leq f(2009)=10}

\displaystyle{1=f(2008)\leq f(x_{2})\leq f(2009)=10},

άρα

\displaystyle{1\leq \frac{f(x_{1})+2f(x_{2})}{3}\leq 10,} και το συμπέρασμα προκύπτει πάλι από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, σε συνδυασμό με τη μονοτονία της \displaystyle{f.} (η περίπτωση της ισότητας είναι απλή.)


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
chris
Δημοσιεύσεις: 1176
Εγγραφή: Πέμ Μαρ 11, 2010 9:39 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα - Αθήνα
Επικοινωνία:

Re: Όμορφη...Συνέχεια

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από chris » Πέμ Οκτ 28, 2010 10:32 pm

Θάνο ευχαριστώ...

Να πω οτι το Β) το έχω με Bolzano ενώ για το Γ) για να μην καταφύγουμε στη μονοτονία που θέλει αποδείξη (πιθανόν) να δώσω κάτι άλλο:

Απο το Β) ερώτημα έχουμε:
\displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3),\rho \epsilon \left[2,3 \right]
Ομοίως:
\displaystyle f^2(k )=f(4)\cdot f(5),k \epsilon \left[4,5 \right]

Άρα λόγω του Α) είναι f^2(k )=f^2(\rho  )\Leftrightarrow f(k)=f(\rho ) \left[f(x)>0,\forall x\epsilon \mathbb{R} \right]
Επειδή k\neq \rho αφού \rho \epsilon \left[2,3 \right] και k \epsilon \left[4,5 \right] έπεται η f δεν είναι "1-1".


Στραγάλης Χρήστος
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6174
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Όμορφη...Συνέχεια

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Οκτ 28, 2010 10:42 pm

chris έγραψε:Θάνο ευχαριστώ...

... ενώ για το Γ) για να μην καταφύγουμε στη μονοτονία που θέλει αποδείξη (πιθανόν) να δώσω κάτι άλλο:

Απο το Β) ερώτημα έχουμε:
\displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3),\rho \epsilon \left[2,3 \right]
Ομοίως:
\displaystyle f^2(k )=f(4)\cdot f(5),k \epsilon \left[4,5 \right]

Άρα λόγω του Α) είναι f^2(k )=f^2(\rho  )\Leftrightarrow f(k)=f(\rho ) \left[f(x)>0,\forall x\epsilon \mathbb{R} \right]
Επειδή k\neq \rho αφού \rho \epsilon \left[2,3 \right] και k \epsilon \left[4,5 \right] έπεται η f δεν είναι "1-1".
Φυσικά, έχεις δίκιο Chris. Η πρόταση χρησιμοποιήθηκε παρανόμως. Δεν περιέχεται στο σχολικό βιβλίο. Πολύ καλύτερα με τον δικό σου τρόπο.

Πάντως, ωραία άσκηση!


Μάγκος Θάνος
Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης