Σελίδα 1 από 1

Όμορφη...Συνέχεια

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 28, 2010 9:34 pm
από chris
Τη βρήκα, μου άρεσε και τη δίνω με την ελπίδα πάντα οτι δεν έχει συζητηθεί :P


Δίνεται η συνάρτηση f που είναι ορισμένη και συνεχής στο \mathbb{R} με f(x)\neq 0,\forall x\epsilon \mathbb{R}.
Αν ισχύει: f(2008)=1 , f(2009)=10 και

\displaystyle \frac{f(f(x))}{f(f(x)+2)}=\frac{f(f(x)+3)}{f(f(x)+1)},\forall x\epsilon \mathbb{R} τότε:

Α) Να δείξετε οτι \displaystyle f(2)\cdot f(3)=f(4)\cdot f(5)
B) Να δείξετε οτι υπάρχει τουλάχιστον ένα \rho \epsilon \left[2,3 \right] τέτοιο ώστε: \displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3)
Γ) Δείξτε οτι η f δεν είναι "1-1"
Δ) Αν η f είναι γνησίως αυξουσα στο \displaystyle [2008,2009] και \displaystyle x_1,x_2\epsilon \left[2008,2009 \right] να δείξετε οτι υπάρχει ένα μοναδικό \displaystyle x_0\epsilon \left[2008,2009 \right] τέτοιο ώστε : \displaystyle 3f(x_0)=f(x_1)+2f(x_2)

Re: Όμορφη...Συνέχεια

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 28, 2010 9:57 pm
από matha
Καταρχάς, λόγω συνέχειας και επειδή \displaystyle{f(x)\ne 0}, \displaystyle{f(2008)>0}, είναι \displaystyle{f(x)>0} παντού.

Για το 1ο ερώτημα:

Από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει \displaystyle{q \in (2008,2009)} ώστε \displaystyle{f(q)=2.}

Θέτουμε τότε στη δοθείσα \displaystyle{x=q} και προκύπτει η ζητούμενη.

Για το 2ο ερώτημα:

Αν \displaystyle{f(2)=f(3)} τότε \displaystyle{r=2} ή \displaystyle{r=3}.
Ας είναι λοιπόν, \displaystyle{f(2)\ne f(3).} Ας είναι π.χ. \displaystyle{f(2)>f(3).} Τότε \displaystyle{f(2)>\sqrt{f(2)f(3)}>f(3)} (εύκολο). Οπότε πάλι, από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, υπάρχει \displaystyle{\rho \in (2,3)} ώστε \displaystyle{f(\rho)=\sqrt{f(2)f(3)}.}


Για το 3ο ερώτημα:

Αν ήταν 1-1, ως συνεχής θα ήταν γνησίως μονότονη. Όμως από το 1) έχουμε

\displaystyle{\frac{f(2)}{f(4)}=\frac{f(5)}{f(3)},} άτοπο. Αν f γνησίως αύξουσα, το αριστερό μέλος <1, ενώ το δεξί >1. Ομοίως η γνησίως φθίνουσα.

Για το 4ο ερώτημα:


Λόγω της μονοτονίας και επειδή \displaystyle{x_{1},x_{2}\in [2008,2009]}, έχουμε

\displaystyle{1=f(2008)\leq f(x_{1})\leq f(2009)=10}

\displaystyle{1=f(2008)\leq f(x_{2})\leq f(2009)=10},

άρα

\displaystyle{1\leq \frac{f(x_{1})+2f(x_{2})}{3}\leq 10,} και το συμπέρασμα προκύπτει πάλι από το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών, σε συνδυασμό με τη μονοτονία της \displaystyle{f.} (η περίπτωση της ισότητας είναι απλή.)

Re: Όμορφη...Συνέχεια

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 28, 2010 10:32 pm
από chris
Θάνο ευχαριστώ...

Να πω οτι το Β) το έχω με Bolzano ενώ για το Γ) για να μην καταφύγουμε στη μονοτονία που θέλει αποδείξη (πιθανόν) να δώσω κάτι άλλο:

Απο το Β) ερώτημα έχουμε:
\displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3),\rho \epsilon \left[2,3 \right]
Ομοίως:
\displaystyle f^2(k )=f(4)\cdot f(5),k \epsilon \left[4,5 \right]

Άρα λόγω του Α) είναι f^2(k )=f^2(\rho  )\Leftrightarrow f(k)=f(\rho ) \left[f(x)>0,\forall x\epsilon \mathbb{R} \right]
Επειδή k\neq \rho αφού \rho \epsilon \left[2,3 \right] και k \epsilon \left[4,5 \right] έπεται η f δεν είναι "1-1".

Re: Όμορφη...Συνέχεια

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Οκτ 28, 2010 10:42 pm
από matha
chris έγραψε:Θάνο ευχαριστώ...

... ενώ για το Γ) για να μην καταφύγουμε στη μονοτονία που θέλει αποδείξη (πιθανόν) να δώσω κάτι άλλο:

Απο το Β) ερώτημα έχουμε:
\displaystyle f^2(\rho )=f(2)\cdot f(3),\rho \epsilon \left[2,3 \right]
Ομοίως:
\displaystyle f^2(k )=f(4)\cdot f(5),k \epsilon \left[4,5 \right]

Άρα λόγω του Α) είναι f^2(k )=f^2(\rho  )\Leftrightarrow f(k)=f(\rho ) \left[f(x)>0,\forall x\epsilon \mathbb{R} \right]
Επειδή k\neq \rho αφού \rho \epsilon \left[2,3 \right] και k \epsilon \left[4,5 \right] έπεται η f δεν είναι "1-1".
Φυσικά, έχεις δίκιο Chris. Η πρόταση χρησιμοποιήθηκε παρανόμως. Δεν περιέχεται στο σχολικό βιβλίο. Πολύ καλύτερα με τον δικό σου τρόπο.

Πάντως, ωραία άσκηση!