Αντιστροφη Συναρτηση

Συντονιστής: m.pαpαgrigorakis

nonlinear
Δημοσιεύσεις: 290
Εγγραφή: Σάβ Αύγ 28, 2010 3:51 am

Αντιστροφη Συναρτηση

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nonlinear » Κυρ Οκτ 31, 2010 8:12 pm

Να βρεθει (εαν υπαρχει) η αντιστροφη της συναρτησης :

\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x + 2}&{x > 0}\\ 
{x + 1}&{x < 0} 
\end{array}} \right.}


Μπάμπης Στεργίου
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 5373
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Μπάμπης Στεργίου » Κυρ Οκτ 31, 2010 8:21 pm

nonlinear έγραψε:Να βρεθει (εαν υπαρχει) η αντιστροφη της συναρτησης :

\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x + 2}&{x > 0}\\ 
{x + 1}&{x < 0} 
\end{array}} \right.}
Η απάντηση , αν δεν έκανα κάτι λάθος με τους από στήθους υπολογισμούς , είναι :

\displaystyle{f^{-1}(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x -2}&{x > 2}\\ 
{x -1}&{x < 1} 
\end{array}} \right.}

Ας γράψουν άλλοι φίλοι τη λύση πιο αναλυτικά. Αυτή η άσκηση ,όσο απλή και να φαίνεται, θα δυσκόλευε ακόμα και σχετικά καλούς μαθητές !Το έχει δείξει η πράξη.

Μπάμπης


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Κυρ Οκτ 31, 2010 8:27 pm

Πάντως Μπάμπη, θα ήταν πιο ενδιαφέρον (το ερώτημα), αν υπήρχε ένα πλην παραπάνω: ;)
nonlinear έγραψε:Να βρεθει (εαν υπαρχει) η αντιστροφη της συναρτησης :

\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x + 2}&{x > 0}\\ 
{-x + 1}&{x < 0} 
\end{array}} \right.}


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Κυρ Οκτ 31, 2010 9:45 pm

Για να υπάρχει η αντίστροφη συνάρτηση πρέπει η συνάρτηση να είναι 1-1

Εξετάζουμε λοιπόν αν η συνάρτηση είναι 1-1

Επειδή η συνάρτηση είναι δίκλαδη θα την εξετάσουμε κατα κλάδους. Επομένως:

Έστω x_{1},x_{2} με x_{1},x_{2}\epsilon \left(0,+\propto  \right) με f\left(x_{1} \right)=f\left(x_{2} \right)\Leftrightarrow x_{1}+2=x_{2}+2\Leftrightarrow x_{1}=x_{2}.

Άρα η συνάρτηση 1-1 στο \left(0,+\propto  \right)

Έστω τώρα x_{1},x_{2} με x_{1},x_{2}\epsilon \left(-\propto,0  \right). Ομοίως x_{1}=x_{2}.

Άρα η συνάρτηση 1-1 στο \left(-\propto,0  \right) για κάθε

Τέλος για κάθε x_{1}<0<x_{2} δηλαδή \left( x_{1}\neq x_{2}\right) τότε f\left(x_{1} \right)=x_{1} +1<1,    f\left(x_{2} \right)=x_{2} +2>2 άρα f\left(x_{1} \right)\neq f\left(x_{2} \right)

Άρα η συνάρτηση 1-1 σε όλο το πεδίο ορισμού της.


Για να βρούμε τώρα την αντίστροφη συνάρτηση θέτουμε f\left(x \right)=y.

Άρα y=\begin{Bmatrix} 
x+2,x>0\\x+1,x<0  
 
\end{Bmatrix}\Leftrightarrow \begin{Bmatrix} 
y=x+2,x>0(1)\\y=x+1,x<0(2)  
 
\end{Bmatrix}

H (1) γίνεται x=y-2,y>2
H (2) γίνεται x=y-1,y<1


Άρα f^{-1}\left(x \right)=\begin{Bmatrix} 
x-2,x>2\\x-1,x<1  
 
\end{Bmatrix}



Όσον αφορά το σχόλιο του κ. Σπυριδάκη αν προσθέσουμε το (-) η συνάρτηση δεν είναι 1-1 στο πεδίο ορισμού της αφού:

Σύμφωνα με τα προηγούμενα θα είναι 1-1 στο \left(0,+\propto  \right) και στο \left(-\propto ,0 \right) αλλά θεωρώντας x_{1}<0<x_{2} δεν είναι f\left(x_{1} \right)\neq f\left(x_{2} \right) για κάθε x_{1},x_{2}
Τελικά "μεταφέρω" την λύση μου σε "κρυφό σχόλιο" γιατί ίσως θέλει κάποιος μαθητής να δώσει την δική του....
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Κυρ Οκτ 31, 2010 11:40 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Κυρ Οκτ 31, 2010 9:50 pm

Μιας και έκανα το κόπο...ιδού
Έχουμε f(x)=\begin{cases} 
x+2 & \text{ if } x>0 \\  
x+1& \text{ if } x<0   
\end{cases}
Για x>0 είναι f(x) = x+2 και η f γνησίως αύξουσα.
Είναι f(x)= x+2 \Rightarrow y=x+2\Rightarrow x=y-2, άρα y>2
Για x<0 είναι f(x)= x + 1 και η f γνησίως αύξουσα
Είναι f(x)=x+1\Rightarrow y=x+1\Rightarrow x=y-1, άρα y<1
Επειδή η τομή των δυο Σ.Τ. είναι το κενό σύνολο και η f γνησίως μονότονη σε κάθε κλάδο η f "1-1", άρα ορίζεται η αντίστροφή της.
Για f(x)=y είναι f^-1(y)=x
Άρα f^-1(y)\begin{cases} 
y-2 & \text{ if } y>2  \\  
y-1 & \text{ if } y<1   
\end{cases}
και επειδή συνηθίζεται την ανεξάρτητη μεταβλητή να την συμβολίζουμε με x,θέτοντας y=x η σχέση γίνεται:
f^-1(x)\begin{cases} 
x-2 & \text{ if } x>2  \\  
x-1 & \text{ if } x<1   
\end{cases}


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Κυρ Οκτ 31, 2010 10:12 pm

Αντώνη "ΠΡΟΣΟΧΗ".

Όταν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ1 και σε ένα άλλο Δ2 τότε δεν είναι "αναγκαστικά" και γνησίως μονότονη στην ένωση τους. Ήταν το λάθος το οποίο "μάλλον" εννοούσε ο κ. Στεργίου. Πρέπει να αποδείξεις την μονοτονία σε κάθε κλάδο και έπειτα θεωρώντας χ1 στο Δ1 και χ2 στο Δ2 να δείξεις ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη σε όλο το πεδίο ορισμού όπως δηλαδή δείξαμε ότι είναι 1-1.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Κυρ Οκτ 31, 2010 10:20 pm

Συμφωνώ απόλυτα. Αλλά το ότι είπα ότι η τομή των Συνόλων Τιμών των δυο κλάδων είναι το κενό σύνολο δεν με καλύπτει? Η f γνησίως μονότονη στο Δ1, η f γνησίως μονότονη στο Δ2 , Δ1 τομή Δ2 = κενό σύνολο και επίσης f(Δ1) τομή f(Δ2) = κενό σύνολο. Άρα αποκλείεται να υπάρχει κάποιο x1 του Δ1 και x2 του Δ2 ώστε f(x1)=f(x2).


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Κυρ Οκτ 31, 2010 11:23 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Συμφωνώ απόλυτα. Αλλά το ότι είπα ότι η τομή των Συνόλων Τιμών των δυο κλάδων είναι το κενό σύνολο δεν με καλύπτει? Η f γνησίως μονότονη στο Δ1, η f γνησίως μονότονη στο Δ2 , Δ1 τομή Δ2 = κενό σύνολο και επίσης f(Δ1) τομή f(Δ2) = κενό σύνολο. Άρα αποκλείεται να υπάρχει κάποιο x1 του Δ1 και x2 του Δ2 ώστε f(x1)=f(x2).

Αντώνη δεν σε καλύπτει δες για παράδειγμα την συνάρτηση f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} 
x+2,x>0\\-x+1,x<0  
 
\end{Bmatrix} που πρότεινε ο κ. Σπυριδάκης. Είναι γνησίως μονότονη στο Δ1 είναι γνησίως μονότονη στο Δ2, η τομή των Δ1,Δ2 είναι το κενό αλλά η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Επίσης δεν καταλαβαίνω το συμπέρασμα σου. Επειδή η τομή του Δ1 με το Δ2 είναι το κενό γιατί η τομή του f(Δ1) με το f(Δ2) είναι το κενό;Μάλλον εννοείς στη συγκεκριμένη συνάρτηση. Δεν ισχύει γενικά όμως. Πάρε παράδειγμα την συνάρτηση f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} 
x+2,x<0\\x+1,x>0  
 
\end{Bmatrix}.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Άβαταρ μέλους
Σεραφείμ
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1872
Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σεραφείμ » Κυρ Οκτ 31, 2010 11:30 pm

Μα θαρρώ πως ο Αντώνης είναι σαφής. Η f(x) είναι γνησίως μονότονη στους δύο κλάδους, άρα "1-1" σ' αυτούς. Τα σύνπλα τιμών των δύο κλάδων είχουν κενή τομη, άρα η f(x) είναι "1-1".

Δεν ισχυρίστηκε ότι είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της (άσχετα αν στην συγκεκριμένη ισχύει)


Σεραφείμ Τσιπέλης
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1208
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Κυρ Οκτ 31, 2010 11:35 pm

Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Αλλά το ότι είπα ότι η τομή των Συνόλων Τιμών των δυο κλάδων είναι το κενό σύνολο δεν με καλύπτει? Η f γνησίως μονότονη στο Δ1, η f γνησίως μονότονη στο Δ2 , Δ1 τομή Δ2 = κενό σύνολο και επίσης f(Δ1) τομή f(Δ2) = κενό σύνολο. Άρα αποκλείεται να υπάρχει κάποιο x1 του Δ1 και x2 του Δ2 ώστε f(x1)=f(x2).
Σε καλύπτει, η λύση είναι σωστή.
Μίλτος


pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Κυρ Οκτ 31, 2010 11:38 pm

pana1333 έγραψε:
Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Συμφωνώ απόλυτα. Αλλά το ότι είπα ότι η τομή των Συνόλων Τιμών των δυο κλάδων είναι το κενό σύνολο δεν με καλύπτει? Η f γνησίως μονότονη στο Δ1, η f γνησίως μονότονη στο Δ2 , Δ1 τομή Δ2 = κενό σύνολο και επίσης f(Δ1) τομή f(Δ2) = κενό σύνολο. Άρα αποκλείεται να υπάρχει κάποιο x1 του Δ1 και x2 του Δ2 ώστε f(x1)=f(x2).

Αντώνη δεν σε καλύπτει δες για παράδειγμα την συνάρτηση f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} 
x+2,x>0\\-x+1,x<0  
 
\end{Bmatrix} που πρότεινε ο κ. Σπυριδάκης. Είναι γνησίως μονότονη στο Δ1 είναι γνησίως μονότονη στο Δ2, η τομή των Δ1,Δ2 είναι το κενό αλλά η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Επίσης δεν καταλαβαίνω το συμπέρασμα σου. Επειδή η τομή του Δ1 με το Δ2 είναι το κενό γιατί η τομή του f(Δ1) με το f(Δ2) είναι το κενό;Μάλλον εννοείς στη συγκεκριμένη συνάρτηση. Δεν ισχύει γενικά όμως. Πάρε παράδειγμα την συνάρτηση f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} 
x+2,x<0\\x+1,x>0  
 
\end{Bmatrix}.


Συγνώμη Αντώνη διορθώνω....Έχει δίκιο ο κ. Σεραφείμ και εσύ φυσικά. Δεν διάβασα καλά ότι έγραφες η τομή των δυο Σ.Τ άλλα κατάλαβα ότι εννοούσες τα πεδία ορισμού. Έχεις δίκιο...
τελευταία επεξεργασία από pana1333 σε Κυρ Οκτ 31, 2010 11:55 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
Νασιούλας Αντώνης
Δημοσιεύσεις: 623
Εγγραφή: Πέμ Οκτ 21, 2010 10:12 pm
Τοποθεσία: Αθήνα-Βόλος
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Νασιούλας Αντώνης » Κυρ Οκτ 31, 2010 11:40 pm

pana1333 έγραψε:
Νασιούλας Αντώνης έγραψε:Συμφωνώ απόλυτα. Αλλά το ότι είπα ότι η τομή των Συνόλων Τιμών των δυο κλάδων είναι το κενό σύνολο δεν με καλύπτει? Η f γνησίως μονότονη στο Δ1, η f γνησίως μονότονη στο Δ2 , Δ1 τομή Δ2 = κενό σύνολο και επίσης f(Δ1) τομή f(Δ2) = κενό σύνολο. Άρα αποκλείεται να υπάρχει κάποιο x1 του Δ1 και x2 του Δ2 ώστε f(x1)=f(x2).

Αντώνη δεν σε καλύπτει δες για παράδειγμα την συνάρτηση f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} 
x+2,x>0\\-x+1,x<0  
 
\end{Bmatrix} που πρότεινε ο κ. Σπυριδάκης. Είναι γνησίως μονότονη στο Δ1 είναι γνησίως μονότονη στο Δ2, η τομή των Δ1,Δ2 είναι το κενό αλλά η συνάρτηση δεν είναι γνησίως μονότονη στο πεδίο ορισμού της. Επίσης δεν καταλαβαίνω το συμπέρασμα σου. Επειδή η τομή του Δ1 με το Δ2 είναι το κενό γιατί η τομή του f(Δ1) με το f(Δ2) είναι το κενό;Μάλλον εννοείς στη συγκεκριμένη συνάρτηση. Δεν ισχύει γενικά όμως. Πάρε παράδειγμα την συνάρτηση f\left(x \right)=\begin{Bmatrix} 
x+2,x<0\\x+1,x>0  
 
\end{Bmatrix}.
Μάλλον δεν έγινε κατανοητός σε δύο σημεία. Καταρχάς δεν υποστήριξα ότι επειδή η τομή του Δ1 με το Δ2 είναι το κενό γι αυτό η τομή των συνόλων τιμών είναι το κενό. Το ότι f(Δ1) τομή f(Δ2) = κενό σύνολο το απέδειξα αφού για x>0 απέδειξα ότι y>2. Άρα έστω Δ1={0,+\propto} το f(Δ1)={2,+\propto}. Και επίσης για x<0 απέδειξα ότι y<1. Άρα έστω Δ2={-\propto,0 } το f(Δ2)={-\propto,1}. Είναι φανερό λοιπόν ότι στο συγκεκριμένο f(Δ1) τομή f(Δ2) = κενό σύνολο ισχύει.
Κάτι που δεν ισχύει στο παράδειγμα του κυρίου Σπυριδάκη αφού:
Για χ>0 βγαίνει y>2 αλλά για χ<0 βγαίνει 1-y<0 άρα y>1. Που σημαίνει ότι τα δύο σύνολα τιμών έχουν τομή διαφορετική του κενού συνόλου(f(Δ1) ΤΟΜΗ f(Δ2) = (2 εως + άπειρο) και άρα η f δεν είναι ένας προς ένα άρα δεν είναι αντιστρέψιμη.


"Το να έχεις συνείδηση της άγνοιάς σου, είναι ένα μεγάλο βήμα προς τη γνώση" , Benjamin Disraeli
"Η αλήθεια ενός θεωρήματος, βρίσκεται στο μυαλό σου, όχι στα μάτια σου" , Άλμπερτ Αϊνστάιν
Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Κυρ Οκτ 31, 2010 11:55 pm

Mεθοδολογια
Συνημμένα
ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΚΛΑΔΩΤΗΣ.pdf
(905.88 KiB) Μεταφορτώθηκε 129 φορές
τελευταία επεξεργασία από Τηλέγραφος Κώστας σε Δευ Νοέμ 01, 2010 12:13 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
pana1333
Δημοσιεύσεις: 1036
Εγγραφή: Τρί Απρ 21, 2009 8:46 pm
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από pana1333 » Δευ Νοέμ 01, 2010 12:05 am

Κώστα Καλησπέρα. Κάποιο πρόβλημα ίσως έχει το συνημμένο σου αρχείο. Εγώ τουλάχιστον δεν μπορώ να το ανοίξω.

Ευχαριστώ


Κανάβης Χρήστος
Μαθηματικός
m.pαpαgrigorakis
Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 1208
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:10 am
Τοποθεσία: Χανιά
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από m.pαpαgrigorakis » Δευ Νοέμ 01, 2010 12:11 am

A.Spyridakis έγραψε:Πάντως Μπάμπη, θα ήταν πιο ενδιαφέρον (το ερώτημα), αν υπήρχε ένα πλην παραπάνω: ;)
nonlinear έγραψε:Να βρεθει (εαν υπαρχει) η αντιστροφη της συναρτησης :

\displaystyle{f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} 
{x + 2}&{x > 0}\\ 
{-x + 1}&{x < 0} 
\end{array}} \right.}
Παρατηρούμε ότι f(-2)=f(1) έτσι η συνάρτηση δεν είναι 1-1 επομένως ούτε αντιστρέψιμη


Άβαταρ μέλους
Τηλέγραφος Κώστας
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1018
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 12:06 am
Τοποθεσία: ΦΕΡΕΣ-ΑΛΕΞ/ΠΟΛΗ
Επικοινωνία:

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Τηλέγραφος Κώστας » Δευ Νοέμ 01, 2010 12:15 am

Τωρα ειναι ενταξει


Φιλικά
Τηλέγραφος Κώστας
\displaystyle{
F(x) = \int_a^x {f(t)dt} 
}
michael92
Δημοσιεύσεις: 4
Εγγραφή: Σάβ Οκτ 02, 2010 11:48 pm

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από michael92 » Δευ Νοέμ 01, 2010 5:20 pm

Άλλη μια λύση

Αφού αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι 1-1 μπορούμε να λύσουμε την άσκηση γραφικά:

Εικόνα


Άβαταρ μέλους
A.Spyridakis
Δημοσιεύσεις: 495
Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 11:47 am
Τοποθεσία: Εδώ

Re: Αντιστροφη Συναρτηση

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από A.Spyridakis » Δευ Νοέμ 01, 2010 11:48 pm

michael92 έγραψε:Άλλη μια λύση

Αφού αποδείξουμε ότι η συνάρτηση είναι 1-1 μπορούμε να λύσουμε την άσκηση γραφικά:

Εικόνα
Γιατί να αποδείξουμε ότι είναι 1-1? Κι αυτό από τη γραφ. παρ. φαίνεται!


Απάντηση

Επιστροφή σε “ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης